如图，在\(Rt\triangle ABC\)中，\(∠C=90^{\circ}\)，设\(a\)，\(b\)，\(c\)分别表示三条边的长度，由勾股定理，得\(c^{2}=a^{2}+b^{2}.\)类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想．

当\(x\neq 1\)且\(x\neq 0\)时，数列\(\{nx^{n-1}\}\)的前\(n\)项和\(S_{n}=1+2x+3x^{2}+…+nx^{x-1}(n∈N^{*})\)可以用数列求和的“错位相减法”求得，也可以由\(x+x^{2}+x^{3}+…+x^{n}(n∈N^{*})\)按等比数列的求和公式，先求得\(x+x^{2}+x^{3}+…+x^{n}= \dfrac{x-x^{n+1}}{1-x}\)，两边都是关于\(x\)的函数，两边同时求导，\((x+x^{2}+x^{3}+…+x^{n})′=\left( \left. \dfrac{x-x^{n+1}}{1-x} \right. \right)′\)，从而得到\(S_{n}=1+2x+3x^{2}+…+nx^{n-1}= \dfrac{1-(n+1)x^{n}+nx^{n+1}}{(1-x)^{2}}\)，按照同样的方法，请从二项展开式\((1+x)^{n}=1+C\rlap{_{n}}{^{1}}x+C\rlap{_{n}}{^{2}}x^{2}+…+C\rlap{_{n}}{^{n}}x^{n}\)出发，可以求得，\(S_{n}=1×2×C\rlap{_{n}}{^{1}}+2×3×C\rlap{_{n}}{^{2}}+3×4×C\rlap{_{n}}{^{3}}+…+n(n+1)×C\rlap{_{n}}{^{n}}(n\geqslant 4)\)的值为________\(.(\)请填写最简结果\()\)．

已知\(\sqrt{2+ \dfrac{2}{3}} =2\sqrt{\dfrac{2}{3}}\)，\( \sqrt{3+ \dfrac{3}{8}} =3\sqrt{\dfrac{3}{8}}\)，\( \sqrt{4+ \dfrac{4}{15}} =4\sqrt{\dfrac{4}{15}}\)，\(…\)，若\(\sqrt{6+ \dfrac{a}{t}} =6\sqrt{\dfrac{a}{t}}(a,t\)均为正实数\()\)，则类比以上等式，可推测\(a\)，\(t\)的值，\(a+t=\)________．

一个平面用\(n\)条直线去划分，最多将平面分成\(f(n)\)个部分．

\((1)\) 求\(f(1)\)，\(f(2)\)，\(f(3)\)，\(f(4)\)的值\(;\)

\((2)\) 观察\(f(2)-f(1)\)，\(f(3)-f(2)\)，\(f(4)-f(3)\)，有何规律\(?\)

\((3)\) 求\(f(n)\)．

先阅读下列结论的证法，再解决后面的问题：已知\(a_{1}\)，\(a_{2}∈R\)，\(a_{1}+a_{2}=1\)，求证：\(a{\,\!}_{1}^{2}+a{\,\!}_{2}^{2}\geqslant \dfrac{1}{2}.\)证明：构造函数\(f(x)=(x-{a}_{1}{)}^{2} +(x-a_{2})^{2}\)，则\(f(x)=2x^{2}-2(a_{1}+a_{2})×a{\,\!}_{1}^{2}+a{\,\!}_{2}^{2}=2x^{2}-2x+a{\,\!}_{1}^{2}+a{\,\!}_{2}^{2}\)，因为对一切\(x∈R\)，恒有\(f(x)\geqslant 0.\)所以\(\triangle =4-8(a{\,\!}_{1}^{2}+a{\,\!}_{2}^{2})\leqslant 0\)，从而得\(a{\,\!}_{1}^{2}+a{\,\!}_{2}^{2}\geqslant \dfrac{1}{2}\)．

\((1)\)若\(a_{1}\)，\(a_{2}\)，\(…\)，\(a_{n}∈R\)且\(a_{1}\)，\(a_{2}\)，\(…\)，\(a_{n}∈R\)，\(a_{1}+a_{2}+…+a_{n}=1\)，请写出上述结论的推广式；

\((2)\)参考上述解法，对你推广的结论加以证明．

某校高二\((1)\)班每周都会选出两位“迟到之星”，期中考试之前一周“迟到之星”人选揭晓之前，小马说：“两个人选应该是在小赵、小宋和小谭三人之中产生”，小赵说：“一定没有我，肯定有小宋”，小宋说：“小马、小谭二人中有且仅有一人是迟到之星”，小谭说：“小赵说的对”\(.\)已知这四人中有且只有两人的说法是正确的，则“迟到之星”是(    )