知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．观察下列等式：
1=1
3+5=8
5+7+9=21
7+9+11+13=40
9+11+13+15+17=65
…
按此规律，第7个等式右边等于 ______ ．

难度：中等

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2．分形几何学是数学家伯努瓦•曼得尔布罗在20世纪70年代创立的一门新的数学学科，它的创立为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路．按照如图甲所示的分形规律可得如图乙所示的一个树形图：

已知第三行有白圈5个，黑圈4个，我们采用“坐标”来表示各行中的白圈、黑圈的个数．比如第一行记为（1，0），第二行记为（2，1），第三行记为（5，4），则第四的白圈与黑圈的“坐标”为 ______ ．照此规律，第n行中的白圈、黑圈的“坐标”为 ______ ．

难度：中等

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3．若向量 $\text{[math]}$ ，满足 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的夹角为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ = ．

难度：中等

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4．记 $%20%5Coverset%7B%20.%7D%7Ba_%7Bn%7Da_%7Bn-1%7Da_%7Bn-2%7D%5Ccdots%20a_%7B1%7Da_%7B0%7D%7D%7C_%7Bm%7D$ =a₀+a₁×m+…+a_n-1×m^n-1+a_n×mⁿ，其中n≤m，m、n均为正整数，a_k∈{0，1，2，…，m-1}（k=0，1，2，…，n）且a_n≠0；
（1）计算 $%20%5Coverset%7B%20.%7D%7B2016%7D%7C_%7B7%7D$ = ______ ；
（2）设集合A（m，n）= $%5C%7Bx%7Cx%3D%20%5Coverset%7B%20.%7D%7Ba_%7Bn%7Da_%7Bn-1%7Da_%7Bn-2%7D%5Ccdots%20a_%7B1%7Da_%7B0%7D%7D%7C_%7Bm%7D%5C%7D$ ，则A（m，n）中所有元素之和为 ______ ．

难度：中等

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5．已知点M，N是椭圆 $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D%2B%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D%3D1%28a%EF%BC%9Eb%EF%BC%9E0%29$ 上的点，直线OM与直线ON的斜率之积为 $%20%5Cfrac%20%7Bb%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D$ （O为坐标原点），P为平面内任意一点．研究发现：
若 $%20%5Coverrightarrow%20%7BOP%7D%3D%20%5Coverrightarrow%20%7BOM%7D%2B%20%5Coverrightarrow%20%7BON%7D$ ，则点p的轨迹方程为 $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D%2B%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D$ =2；
若 $%20%5Coverrightarrow%20%7BOP%7D$ =2 $%20%5Coverrightarrow%20%7BOM%7D$ $%2B%20%5Coverrightarrow%20%7BON%7D$ ，则点p的轨迹方程为 $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D%2B%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D$ =5；
若 $%20%5Coverrightarrow%20%7BOP%7D$ = $%20%5Coverrightarrow%20%7BOM%7D$ +2 $%20%5Coverrightarrow%20%7BON%7D$ ，则点p的轨迹方程为 $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D%2B%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D$ =5；
若 $%20%5Coverrightarrow%20%7BOP%7D$ =3 $%20%5Coverrightarrow%20%7BOM%7D$ + $%20%5Coverrightarrow%20%7BON%7D$ ，则点p的轨迹方程为 $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D%2B%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D$ =10；
若 $%20%5Coverrightarrow%20%7BOP%7D$ = $%20%5Coverrightarrow%20%7BOM%7D$ +3 $%20%5Coverrightarrow%20%7BON%7D$ ，则点p的轨迹方程为 $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D%2B%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D$ =10；
根据上述研究结果，可归纳出： $%20%5Coverrightarrow%20%7BOP%7D$ =m $%20%5Coverrightarrow%20%7BOM%7D$ +n $%20%5Coverrightarrow%20%7BON%7D$ （m，n∈N^*）则点p的轨迹方程为 ______ ．

难度：中等

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6．某种平面分形如图所示，一级分形图是由一点出发的三条线段，长度均为1，两两夹角为120°；二级分形图是在一级分形图的每条线段的末端出发再生成两条长度为原来 $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B3%7D$ 的线段，且这两条线段与原线段两两夹角为120°；…；依此规律得到n级分形图，则n级分形图中所有线段的长度之和为． ______ ．

难度：中等

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7．观察图中小正方形的个数，按规律则第6个图中有个小正方形，第n个图中有个小正方形．

难度：中等

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8．有A、B、C三个盒子，其中一个内放有一个苹果，在三个盒子上各有一张纸条．
A盒子上的纸条写的是“苹果在此盒内”；
B盒子上的纸条写的是“苹果不在此盒内”；
C盒子上的纸条写的是“苹果不在A盒内”．
如果三张纸条中只有一张写的是真的，请问苹果究竟在哪个盒子里．

难度：中等

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9．若向量，满足且与的夹角为，则= ．

难度：中等

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10．已知下面五个命题：①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理．表述正确的是．

难度：中等

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