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          共50条信息

            • 1．

              某市有两家共享单车公司，在市场上分别投放了黄、蓝两种颜色的单车，已知黄、蓝两种颜色的单车的投放比例为\(2:1.\)监管部门为了了解两种颜色的单车的质量，决定从市场中随机抽取\(5\)辆单车进行体验，若每辆单车被抽取的可能性相同．

              \((1)\)求抽取的\(5\)辆单车中有\(2\)辆是蓝色颜色单车的概率；

              \((2)\)在骑行体验过程中，发现蓝色单车存在一定质量问题，监管部门决定从市场中随机地抽取一辆送技术部门作进一步抽样检测，并规定若抽到的是蓝色单车，则抽样结束，若抽取的是黄色单车，则将其放回市场中，并继续从市场中随机地抽取下一辆单车，并规定抽样的次数最多不超过\(n(n∈{N}^{*} )\)次\(.\)在抽样结束时，已取到的黄色单车以\(ξ \)表示，求\(ξ \)的分布列和数学期望．

              难度：中等
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            • 2．
              自\(2016\)年\(1\)月\(1\)日起，我国全面二孩政策正式实施，这次人口与生育政策的历史性调整，使得“要不要再生一个”“生二孩能休多久产假”等成为千千万万个家庭在生育决策上避不开的话题\(.\)为了解针对产假的不同安排方案形成的生育意愿，某调查机构随机抽取了\(200\)户有生育二胎能力的适龄家庭进行问卷调查，得到如下数据：
              产假安排\((\)单位：周\()\) \(14\) \(15\) \(16\) \(17\) \(18\)
              有生育意愿家庭数 \(4\) \(8\) \(16\) \(20\) \(26\)
              \((1)\)若用表中数据所得的频率代替概率，面对产假为\(14\)周与\(16\)周，估计某家庭有生育意愿的概率分别为多少？
              \((2)\)假设从\(5\)种不同安排方案中，随机抽取\(2\)种不同安排分别作为备选方案，然后由单位根据单位情况自主选择．
              \(①\)求两种安排方案休假周数和不低于\(32\)周的概率；
              \(②\)如果用\(ξ\)表示两种方案休假周数和\(.\)求随机变量\(ξ\)的分布及期望．
              难度：中等
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            • 3．
              已知在测试中，客观题难度的计算公式为\({P}_{i}= \dfrac{{R}_{i}}{N} \) ，其中\(P_{i}\) 为第\(i\)题的难度，\(R_{i}\) 为答对该题的人数，\(N\)为参加测试的总人数\(.\)现对某校高三年级\(120\)名学生进行一次测试，共\(5\)道客观题\(.\)测试前根据对学生的了解，预估了每道题的难度，如下表所示：

              测试后，从中随机抽取了\(10\)名学生，将他们编号后统计各题的作答情况，如下表所示\((\)“\(√\)”表示答对，“\(×\)”表示答错\()\)：


              \((1)\)、根据题中数据，将被抽取的\(10\)名学生每道题实测的答对人数及相应的实测难度填入下表，并估计这\(120\)名学生中第\(5\)题的实测答对人数．

              \((2)\)、从编号为\(1\)到\(5\)的\(5\)人中随机抽取\(2\)人，求恰好有\(1\)人答对第\(5\)题的概率．

              \((3)\)定义统计量\(S= \dfrac{1}{n}[({P}_{1}{{'}}-{P}_{1}{)}^{2}+({P}_{2}{{'}}-{P}_{2}{)}^{2}+...+({P}_{n}{{'}}-{P}_{n}{)}^{2}] \)，其中\(P_{i}{{'}}\)为第\(i\)题的实测难度，\(P_{i}\)为第\(i\)题的预估难度\((i=1,2,...,n).\)规定：若\(S\leqslant 0.05\)，则称该次测试的难度预估合理，否则为不合理\(.\)判断本次测试的难度预估是否合理．

              难度：中等
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            • 4．
              空气质量指数\((Air\) \(Quality\) \(Index\)，简称\(AQI)\)是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照\(AQI\)大小分为六级，\(0～50\)为优；\(51～100\)为良；\(101～150\)为轻度污染；\(151～200\)为中度污染；\(201～250\)为重度污染；\( > 300\)为严重污染\(.\)一环保人士记录\(2017\)年某地某月\(10\)天的\(AQI\)的茎叶图如图．
              \((1)\)利用该样本估计该地本月空气质量优良\((AQI\leqslant 100)\)的天数；
              \((\)按这个月总共\(30\)天计算\()\)
              \((2)\)将频率视为概率，从本月中随机抽取\(3\)天，记空气质量优良的天数为\(ξ\)，求\(ξ\)的概率分布列和数学期望．
              难度：中等
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            • 5．
              某茶楼有四类茶饮，假设为顾客准备泡茶工具所需的时间互相独立，且都是整数分钟，经统计以往为\(100\)位顾客准备泡茶工具所需的时间\((t)\)，结果如下：
              类别 铁观音 龙井 金骏眉 大红袍
              顾客数\((\)人\()\) \(20\) \(30\) \(40\) \(10\)
              时间\(t(\)分钟\(/\)人\()\) \(2\) \(3\) \(4\) \(6\)
              注：服务员在准备泡茶工具时的间隔时间忽略不计，并将频率视为概率．
              \((1)\)求服务员恰好在第\(6\)分钟开始准备第三位顾客的泡茶工具的概率；
              \((2)\)用\(X\)表示至第\(4\)分钟末已准备好了工具的顾客人数，求\(X\)的分布列及数学期望．
              难度：中等
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            • 6．
              \(2011\)年，国际数学协会正式宣布，将每年的\(3\)月\(14\)日设为国际数学节，来源是中国古代数学家祖冲之的圆周率\(.\)为庆祝该节日，某校举办的数学嘉年华活动中，设计了如下有奖闯关游戏：参赛选手按第一关、第二关、第三关的顺序依次闯关，若闯关成功，分别获得\(5\)个、\(10\)个、\(20\)个学豆的奖励\(.\)游戏还规定，当选手闯过一关后，可以选择带走相应的学豆，结束游戏；也可以选择继续闯下一关，若有任何一关没有闯关成功，则全部学豆归零，游戏结束\(.\)设选手甲能闯过第一关、第二关、第三关的概率分别为\( \dfrac {3}{4}\)，\( \dfrac {2}{3}\)，\( \dfrac {1}{2}\)，选手选择继续闯关的概率均为\( \dfrac {1}{2}\)，且各关之间闯关成功与否互不影响．
              \((\)Ⅰ\()\)求选手甲第一关闯关成功且所得学豆为零的概率；
              \((\)Ⅱ\()\)设该选手所得学豆总数为\(X\)，求\(X\)的分布列与数学期望．
              难度：中等
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            • 7．
              一个盒子里装有标号为\(1\)，\(2\)，\(3\)，\(…\)，\(n\)的\(n(n\geqslant 3\)，且\(n∈N*)\)张标签，今随机地从盒子里无放回地抽取两张标签，记\(ξ\)为这两张标签上的数字之和，若\(ξ=3\)的概率为\( \dfrac {1}{10}\)．
              \((1)\)求\(n\)的值；
              \((2)\)求\(ξ\)的分布列；
              \((3)\)求\(ξ\)的期望．
              难度：中等
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            • 8．
              根据国家环保部新修订的\(《\)环境空气质量标准\(》\)规定：居民区\(PM2.5\)的年平均浓度不得超过\(35\)微克\(/\)立方米，\(PM2.5\)的\(24\)小时平均浓度不得超过\(75\)微克\(/\)立方米\(.\)我市环保局随机抽取了一居民区\(2016\)年\(20\)天\(PM2.5\)的\(24\)小时平均浓度\((\)单位：微克\(/\)立方米\()\)的监测数据，数据统计如表：
              组别 \(PM2.5\)浓度\((\)微克\(/\)立方米\()\) 频数\((\)天\()\) 频率
              第一组 \((0,25]\) \(3\) \(0.15\)
              第二组 \((25,50]\) \(12\) \(0.6\)
              第三组 \((50,75]\) \(3\) \(0.15\)
              第四组 \((75,100]\) \(2\) \(0.1\)
              \((1)\)将这\(20\)天的测量结果按上表中分组方法绘制成的样本频率分布直方图如图．
              \(①\)求频率分布直方图中\(a\)的值；
              \(②\)求样本平均数，并根据样本估计总体的思想，从\(PM2.5\)的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境质量是否需要改善？并说明理由．
              \((2)\)将频率视为概率，对于\(2016\)年的某\(3\)天，记这\(3\)天中该居民区\(PM2.5\)的\(24\)小时平均浓度符合环境空气质量标准的天数为\(X\)，求\(X\)的分布列．
              难度：中等
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            • 9．

              为评估设备\(M\)生产某种零件的性能，从设备\(M\)生产零件的流水线上随机抽取\(100\)件零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表：

              经计算，样本的平均值\(μ=65 \)，标准差\(σ=2.2 \)，以频率值作为概率的估计值．

              \((\)Ⅰ\()\)为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为\(X\)，并根据以下不等式进行评判\((P\)表示相应事件的频率\()\)；

              \(①P(μ-σ < X\leqslant μ+σ)\geqslant 0.6836 \)；\(②P(μ-2σ < X\leqslant μ+2σ)\geqslant 0.9544 \)；

              \(③P(μ-3σ < X\leqslant μ+3σ)\geqslant 0.9974 \)．

              评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙；若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁，试判断设备\(M\)的性能等级．

              \((\)Ⅱ\()\)将直径小于等于\(μ-2σ \)或直径大于\(μ+2σ \)的零件认为是次品．

              \((ⅰ)\)从设备\(M\)的生产流水线上随机抽取\(2\)件零件，计算其中次品个数\(Y\)的数学期望\(E(Y)\)；

              \((ⅱ)\)从样本中随机抽取\(2\)件零件，计算其中次品个数\(Z\)的数学期望\(E(Z)\)．

              难度：中等
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            • 10．

              随着科技的发展，手机已经成为人们不可或缺的交流工具，除传统的打电话外，手机的功能越来越强大，人们可以玩游戏，看小说，观电影，逛商城等，真是“一机在手，天下我有”，所以，有人把喜欢玩手机的人冠上了名号“低头族”，低头族已经严重影响了人们的生活，一媒体为调查市民对低头族的认识，从某社区的\(500\)名市民中，随机抽取\(100\)名市民，按年龄情况进行统计的频率分布表和频率分布直方图．

              分组\((\)单位：岁\()\)

              频数

              频率

              \(\left[ 20,25 \right) \)  

              \(5\)

              \(0.05\)

              \(\left[ 25,30 \right) \)

              \(20\)

              \(0.20\)

              \(\left[ 30,35 \right) \)

              \(①\)

              \(0.350\)

              \(\left[ 35,40 \right) \)

              \(30\)

              \(②\)

              \(\left[ 40,45 \right]\)  

              \(10\)

              \(0.10\)

              合计

              \(100\)

              \(1.000\)


               \((\)Ⅰ\()\)频率分布表中的\(①②\)位置应填什么数？并补全频率分布直方图，再根据频率分布直方图统计这\(500\)名市民的平均年龄；

              \((\)Ⅱ\()\)在抽出的\(100\)名中按年龄采用分层抽样的方法抽取\(20\)名接受采访，再从抽出的这\(20\)名中年龄在\(\left[ 30,40 \right)\)的选取\(2\)名担任主要发言人\(.\)记这\(2\)名主要发言人年龄在\(\left[ 30,35 \right)\)的人数为\(\xi \)，求\(\xi \)的分布列及数学期望．

              难度：中等
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