知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．

某市有两家共享单车公司，在市场上分别投放了黄、蓝两种颜色的单车，已知黄、蓝两种颜色的单车的投放比例为\(2:1.\)监管部门为了了解两种颜色的单车的质量，决定从市场中随机抽取\(5\)辆单车进行体验，若每辆单车被抽取的可能性相同．

\((1)\)求抽取的\(5\)辆单车中有\(2\)辆是蓝色颜色单车的概率；

\((2)\)在骑行体验过程中，发现蓝色单车存在一定质量问题，监管部门决定从市场中随机地抽取一辆送技术部门作进一步抽样检测，并规定若抽到的是蓝色单车，则抽样结束，若抽取的是黄色单车，则将其放回市场中，并继续从市场中随机地抽取下一辆单车，并规定抽样的次数最多不超过\(n(n∈{N}^{*} )\)次\(.\)在抽样结束时，已取到的黄色单车以\(ξ \)表示，求\(ξ \)的分布列和数学期望．

难度：中等

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2．
自\(2016\)年\(1\)月\(1\)日起，我国全面二孩政策正式实施，这次人口与生育政策的历史性调整，使得“要不要再生一个”“生二孩能休多久产假”等成为千千万万个家庭在生育决策上避不开的话题\(.\)为了解针对产假的不同安排方案形成的生育意愿，某调查机构随机抽取了\(200\)户有生育二胎能力的适龄家庭进行问卷调查，得到如下数据：

产假安排\((\)单位：周\()\) \(14\) \(15\) \(16\) \(17\) \(18\)

有生育意愿家庭数 \(4\) \(8\) \(16\) \(20\) \(26\)

\((1)\)若用表中数据所得的频率代替概率，面对产假为\(14\)周与\(16\)周，估计某家庭有生育意愿的概率分别为多少？
\((2)\)假设从\(5\)种不同安排方案中，随机抽取\(2\)种不同安排分别作为备选方案，然后由单位根据单位情况自主选择．
\(①\)求两种安排方案休假周数和不低于\(32\)周的概率；
\(②\)如果用\(ξ\)表示两种方案休假周数和\(.\)求随机变量\(ξ\)的分布及期望．

难度：中等

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3．
在\(10\)件产品中，有\(3\)件一等品，\(4\)件二等品，\(3\)件三等品\(.\)从这\(10\)件产品中任取\(3\)件，求：
\((I)\)取出的\(3\)件产品中一等品件数\(X\)的分布列和数学期望；
\((II)\)取出的\(3\)件产品中一等品件数多于二等品件数的概率．

难度：中等

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4．
空气质量指数\((Air\) \(Quality\) \(Index\)，简称\(AQI)\)是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照\(AQI\)大小分为六级，\(0～50\)为优；\(51～100\)为良；\(101～150\)为轻度污染；\(151～200\)为中度污染；\(201～250\)为重度污染；\( > 300\)为严重污染\(.\)一环保人士记录\(2017\)年某地某月\(10\)天的\(AQI\)的茎叶图如图．
\((1)\)利用该样本估计该地本月空气质量优良\((AQI\leqslant 100)\)的天数；
\((\)按这个月总共\(30\)天计算\()\)
\((2)\)将频率视为概率，从本月中随机抽取\(3\)天，记空气质量优良的天数为\(ξ\)，求\(ξ\)的概率分布列和数学期望．

难度：中等

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5．

已知离散型随机变量\(X\)的概率分布列为

\(X\)	\(1\)	\(3\)	\(5\)
\(P\)	\(0.5\)	\(m\)	\(0.2\)

则其方差\(D(X)\)等于\((\)　　\()\)

A．\(1\)

B．\(0.6\)

C．\(2.44\)

D．\(2.4\)

难度：中等

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6．
为了解甲、乙两厂产品的质量，从两厂生产的产品中分别随机抽取各\(10\)件样品，测量产品中某种元素的含量\((\)单位：毫克\().\)如图是测量数据的茎叶图：

规定：当产品中的此种元素含量不小于\(16\)毫克时，该产品为优等品．
\((\)Ⅰ\()\)试用上述样本数据估计甲、乙两厂生产的优等品率；
\((\)Ⅱ\()\)从乙厂抽出的上述\(10\)件样品中，随机抽取\(3\)件，求抽到的\(3\)件样品中优等品数\(X\)的分布列及其数学期望\(E(X)\)；
\((\)Ⅲ\()\)从甲厂的\(10\)件样品中有放回地逐个随机抽取\(3\)件，也从乙厂的\(10\)件样品中有放回地逐个随机抽取\(3\)件，求抽到的优等品数甲厂恰比乙厂多\(2\)件的概率．

难度：中等

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7．
某茶楼有四类茶饮，假设为顾客准备泡茶工具所需的时间互相独立，且都是整数分钟，经统计以往为\(100\)位顾客准备泡茶工具所需的时间\((t)\)，结果如下：

类别铁观音龙井金骏眉大红袍

顾客数\((\)人\()\) \(20\) \(30\) \(40\) \(10\)

时间\(t(\)分钟\(/\)人\()\) \(2\) \(3\) \(4\) \(6\)

注：服务员在准备泡茶工具时的间隔时间忽略不计，并将频率视为概率．
\((1)\)求服务员恰好在第\(6\)分钟开始准备第三位顾客的泡茶工具的概率；
\((2)\)用\(X\)表示至第\(4\)分钟末已准备好了工具的顾客人数，求\(X\)的分布列及数学期望．

难度：中等

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8．
\(2011\)年，国际数学协会正式宣布，将每年的\(3\)月\(14\)日设为国际数学节，来源是中国古代数学家祖冲之的圆周率\(.\)为庆祝该节日，某校举办的数学嘉年华活动中，设计了如下有奖闯关游戏：参赛选手按第一关、第二关、第三关的顺序依次闯关，若闯关成功，分别获得\(5\)个、\(10\)个、\(20\)个学豆的奖励\(.\)游戏还规定，当选手闯过一关后，可以选择带走相应的学豆，结束游戏；也可以选择继续闯下一关，若有任何一关没有闯关成功，则全部学豆归零，游戏结束\(.\)设选手甲能闯过第一关、第二关、第三关的概率分别为\( \dfrac {3}{4}\)，\( \dfrac {2}{3}\)，\( \dfrac {1}{2}\)，选手选择继续闯关的概率均为\( \dfrac {1}{2}\)，且各关之间闯关成功与否互不影响．
\((\)Ⅰ\()\)求选手甲第一关闯关成功且所得学豆为零的概率；
\((\)Ⅱ\()\)设该选手所得学豆总数为\(X\)，求\(X\)的分布列与数学期望．

难度：中等

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9．
某市一所高中随机抽取部分高一学生调查其上学路上所需时间\((\)单位：分钟\()\)，并将所得数据绘制成频率分布直方图\((\)如图\()\)，其中上学路上所需时间的范围是\([0,100]\)，样本数据分组为\([0,20)\)，\([20,40)\)，\([40,60)\)，\([60,80)\)，\([80,100]\)．

\((\)Ⅰ\()\)求直方图中\(x\)的值；
\((\)Ⅱ\()\)如果上学路上所需时间不少于\(1\)小时的学生可申请在学校住宿，若招生\(1200\)名，请估计新生中有多少名学生可以申请住宿；
\((\)Ⅲ\()\)从学校的高一学生中任选\(4\)名学生，这\(4\)名学生中上学路上所需时间少于\(20\)分钟的人数记为\(X\)，求\(X\)的分布列和数学期望\(.(\)以直方图中的频率作为概率\()\)

难度：中等

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10．
一个盒子里装有标号为\(1\)，\(2\)，\(3\)，\(…\)，\(n\)的\(n(n\geqslant 3\)，且\(n∈N*)\)张标签，今随机地从盒子里无放回地抽取两张标签，记\(ξ\)为这两张标签上的数字之和，若\(ξ=3\)的概率为\( \dfrac {1}{10}\)．
\((1)\)求\(n\)的值；
\((2)\)求\(ξ\)的分布列；
\((3)\)求\(ξ\)的期望．

难度：中等

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产假安排\((\)单位：周\()\)	\(14\)	\(15\)	\(16\)	\(17\)	\(18\)
有生育意愿家庭数	\(4\)	\(8\)	\(16\)	\(20\)	\(26\)

类别	铁观音	龙井	金骏眉	大红袍
顾客数\((\)人\()\)	\(20\)	\(30\)	\(40\)	\(10\)
时间\(t(\)分钟\(/\)人\()\)	\(2\)	\(3\)	\(4\)	\(6\)