4．
\((I)\)如图，\(\triangle ABC\)的顶点\(A\)，\(C\)在圆\(O\)上，\(B\)在圆外，线段\(AB\)与圆\(O\)交于点\(M\)．
图\((1)\) 图\((2)\)
\((1)\) 若\(BC\)是圆\(O\)的切线，且\(AB=8\)，\(BC=4\)，求线段\(AM\)的长\(;\)
\((2)\) 若线段\(BC\)与圆\(O\)交于另一点\(N\)，且\(AB=2AC\)，求证：\(BN=2MN\)．
\((II)\)设\(a\)，\(b∈R\)，若直线\(l:ax+y-7=0\)在矩阵\(A=\begin{bmatrix} 3 & 0 \\ \mathrm{{-}}1 & b \\ \end{bmatrix}\)对应的交换作用下得到的直线为\(l{{'}}:9x+y-91=0\)，求实数\(a\)，\(b\)的值．
\((III)\)在平面直角坐标系\(xOy\)中，若直线\(l:\begin{cases} x{=}1{+}\dfrac{3}{5}t\mathrm{{,}} \\ y{=}\dfrac{4}{5}t \end{cases}(t\)为参数\()\)与曲线\(C:\begin{cases} x{=}4k^{2}\mathrm{{,}} \\ y{=}4k \end{cases}(k\)为参数\()\)交于\(A\)，\(B\)两点，求线段\(AB\)的长．
\((IV)\)设\(a\neq b\)，求证：\(a^{4}+6a^{2}b^{2}+b^{4} > 4ab(a^{2}+b^{2}).\)