知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
已知椭圆\(C： \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)的左、右焦点与其短轴的一个端点是正三角形的三个顶点，点\(D(1, \dfrac {3}{2})\)在椭圆\(C\)上，直线\(l\)：\(y=kx+m\)与椭圆\(C\)相交于\(A\)，\(P\)两点，与\(x\)轴，\(y\)轴分别相交于点\(N\)和\(M\)，且\(|PM|=|MN|\)，点\(Q\)是点\(P\)关于\(x\)轴的对称点，\(QM\)的延长线交椭圆\(C\)于点\(B\)，过点\(A\)，\(B\)分别作\(x\)轴的垂线，垂足分别为\(A_{1}\)，\(B_{1}\)．
\((1)\)求椭园\(C\)的方程
\((2)\)是否存在直线\(l\)，使得点\(N\)平分线段\(A_{1}B_{1}\)？若存在，求出直线\(l\)的方程；若不存在，请说明理由

难度：中等

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2．
已知椭圆\(C： \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)经过点\(M(-2,-1)\)，离心率为\( \dfrac { \sqrt {2}}{2}.\)过点\(M\)作倾斜角互补的两条直线分别与椭圆\(C\)交于异于\(M\)的另外两点\(P\)、\(Q\)．
\((I)\)求椭圆\(C\)的方程；
\((II)\)试判断直线\(PQ\)的斜率是否为定值，证明你的结论．

难度：中等

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3．
已知抛物线\(C:{y}^{2}=2px\left(p > 0\right) \)过点\(M(1,-2)\)，且焦点为\(F\)直线\(l\)与抛物线相交于\(A\)，\(B\)两点．

\((1)\)求抛物线\(C\)的方程，并求其准线方程；

\((2)\)若\(\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=-4\)，证明直线\(l\)必过一定点，并求出该定点．

难度：中等

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4．

点\(M\left( \sqrt{2},1 \right)\)在椭圆\(C:\dfrac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\dfrac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1(a > b > 0)\)，且点\(M\)到椭圆两焦点的距离之和为\({2}\sqrt{{5}}\)．

\((1)\)求椭圆\(C\)的方程；

\((2)\)已知动直线\(y=k\left( x+1 \right)\)与椭圆\(C\)相交于\(A,B\)两点，若\(P\left( -\dfrac{7}{3},0 \right)\)，求证：\(\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PB}\)为定值．

难度：中等

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5．如图，已知椭圆\( \dfrac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+ \dfrac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1\left(a > b > 0\right) \)的离心率为\( \dfrac{ \sqrt{2}}{2} \)，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点\(F_{1}\)，\(F_{2}\)为顶点的三角形的周长为\(4\left( \sqrt{2}+1\right) \)，一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设\(P\)为该双曲线上异于顶点的任一点，直线\(PF_{1}\)和\(PF_{2}\)与椭圆的交点分别为\(A\)、\(B\)和\(C\)、\(D\)．

\((\)Ⅰ\()\)求椭圆和双曲线的标准方程；
\((\)Ⅱ\()\)设直线\(PF_{1}\)、\(PF_{2}\)的斜率分别为\(k_{1}\)、\(k_{2}\)，证明\(k_{1}⋅k_{2}=1\)．

难度：中等

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6．

已知圆\(C\)：\({{x}^{2}}+{{y}^{2}}=9\)，点\(P\)为直线\(x-y-3=0\)上一动点，过点\(P\)向圆\(C\)引两条切线\(PA,PB\)，\(A,B\)为切点，则直线\(AB\)经过定点\((\) \()\)

A．\(\left( 4,8 \right)\)

B．\(\left( 2,-4 \right)\)

C．\(\left( 6,3 \right)\)

D．\(\left( 3,-3 \right)\)

难度：中等

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7．
已知曲线\(C\)：\(y^{2}=4x\)，\(M\)：\((x-1)^{2}+y^{2}=4(x\geqslant 1)\)，直线\(l\)与曲线\(C\)相交于\(A\)，\(B\)两点，\(O\)为坐标原点．
\((\)Ⅰ\()\)若\(\overrightarrow{OA}· \overrightarrow{OB}=-4 \)，求证：直线\(l\)恒过定点，并求出定点坐标；
\((\)Ⅱ\()\)若直线\(l\)与曲线\(M\)相切，求\(\overrightarrow{MA}· \overrightarrow{MB} \)的取值范围．

难度：中等

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8．
已知椭圆\(C\)：\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)，经过点\(P( \sqrt {3}, \dfrac {1}{2})\)，离心率\(e= \dfrac { \sqrt {3}}{2}\)．
\((1)\)求椭圆\(C\)的标准方程．
\((2)\)过点\(Q(0, \dfrac {1}{2})\)的直线与椭圆交于\(A\)、\(B\)两点，与直线\(y=2\)交于点\(M(\)直线\(AB\)不经过\(P\)点\()\)，记\(PA\)、\(PB\)、\(PM\)的斜率分别为\(k_{1}\)、\(k_{2}\)、\(k_{3}\)，问：是否存在常数\(λ\)，使得\( \dfrac {1}{k_{1}}+ \dfrac {1}{k_{2}}= \dfrac {λ}{k_{3}}\)？若存在，求出\(λ\)的值：若不存在，请说明理由．

难度：中等

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9．
已知椭圆\(C\)：\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)的离心率为\( \dfrac {1}{2}\)，点\(( \sqrt {3},- \dfrac { \sqrt {3}}{2})\)在椭圆\(C\)上．
\((\)Ⅰ\()\)求椭圆\(C\)的方程；
\((\)Ⅱ\()\)过椭圆\(C\)的右焦点\(F\)作直线\(l\)与椭圆\(C\)交于不同的两点\(M(x_{1},y_{1})\)，\(N(x_{2},y_{2})\)，若点\(P\)与点\(N\)关于\(x\)轴对称，判断直线\(PM\)是否恒过定点，若是，求出该点的坐标；若不是，请说明理由．

难度：中等

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10．
已知椭圆\(\dfrac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\dfrac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1(a > b > 0)\)和直线\(l\)：\(\dfrac{x}{a}-\dfrac{y}{b}=1\)，椭圆的离心率\(e=\dfrac{\sqrt{6}}{3}\)，坐标原点到直线\(l\)的距离为\(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)．

\((1)\)求椭圆的方程；

\((2)\)已知定点\(E\left( -1,0 \right)\)，若直线\(m\)过点\(P\left( 0,2 \right)\)且与椭圆相交于\(C,D\)两点，试判断是否存在直线\(m\)，使以\(CD\)为直径的圆过点\(E\)？若存在，求出直线\(m\)的方程；若不存在，请说明理由．

难度：中等

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