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          共50条信息

            • 1．
              已知椭圆\(C\)：\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)的离心率\(e= \dfrac { \sqrt {2}}{2}\)，且椭圆\(C\)上一点\(M\)与椭圆左右两个焦点构成的三角形周长为\(4+2 \sqrt {2}\)．
              \((1)\)求椭圆\(C\)的方程；
              \((2)\)如图，设点\(D\)为椭圆上任意一点，直线\(y=m\)和椭圆\(C\)交于\(A\)、\(B\)两点，直线\(DA\)、\(DB\)与\(y\)轴的交点分别为\(P\)、\(Q\)，求证：\(∠PF_{1}F_{2}+∠QF_{1}F_{2}=90^{\circ}\)．
              难度：中等
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            • 2．
              已知椭圆\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)过点\((0,-1)\)，离心率\(e= \dfrac { \sqrt {2}}{2}\)．
              \((\)Ⅰ\()\)求椭圆的方程；
              \((\)Ⅱ\()\)已知点\(P(m,0)\)，过点\((1,0)\)作斜率为\(k(k\neq 0)\)直线\(l\)，与椭圆交于\(M\)，\(N\)两点，若\(x\)轴平分\(∠MPN\)，求\(m\)的值．
              难度：中等
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            • 3．
              已知椭圆\(C\)：\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)的两个焦点分别为\(F_{1}\)，\(F_{2}\)，离心率为\( \dfrac {1}{2}.\)设过点\(F_{2}\)的直线\(l\)与椭圆\(C\)相交于不同两点\(A\)，\(B\)，\(\triangle AB F_{ 1 }\)周长为\(8\)．
              \((\)Ⅰ\()\)求椭圆\(C\)的标准方程；
              \((\)Ⅱ\()\)已知点\(T(4,0)\)，证明：当直线\(l\)变化时，总有\(TA\)与\(TB\)的斜率之和为定值．
              难度：中等
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            • 4．
              已知椭圆\(C： \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1\;(a > b > 0)\)过\(A(2,0)\)，\(B(0,1)\)两点．
              \((\)Ⅰ\()\)求椭圆\(C\)的方程及离心率；
              \((\)Ⅱ\()\)设点\(Q\)在椭圆\(C\)上\(.\)试问直线\(x+y-4=0\)上是否存在点\(P\)，使得四边形\(PAQB\)是平行四边形？若存在，求出点\(P\)的坐标；若不存在，说明理由．
              难度：中等
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            • 5．
              已知椭圆\(C\)：\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)过点\(P(-1,-1)\)，\(c\)为椭圆的半焦距，且\(c= \sqrt {2}b.\)过点\(P\)作两条互相垂直的直线\(l_{1}\)，\(l_{2}\)与椭圆\(C\)分别交于另两点\(M\)，\(N\)．
              \((1)\)求椭圆\(C\)的方程；
              \((2)\)若直线\(l_{1}\)的斜率为\(-1\)，求\(\triangle PMN\)的面积；
              \((3)\)若线段\(MN\)的中点在\(x\)轴上，求直线\(MN\)的方程．
              难度：中等
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            • 6．
              已知椭圆\(C\)：\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)的焦点\(F_{1}\)的坐标为\((-c,0)\)，\(F_{2}\)的坐标为\((c,0)\)，且经过点\(P(1, \dfrac {3}{2})\)，\(PF_{2}⊥x\)轴．
              \((1)\)求椭圆\(C\)的方程；
              \((2)\)设过\(F_{1}\)的直线\(l\)与椭圆\(C\)交于\(A\)，\(B\)两不同点，在椭圆\(C\)上是否存在一点\(M\)，使四边形\(AMBF_{2}\)为平行四边形？若存在，求出直线\(l\)的方程；若不存在，说明理由．
              难度：中等
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            • 7．
              如图，椭圆\(C_{1}\)：\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)的离心率为\( \dfrac { \sqrt {5}}{3}\)，抛物线\(C_{2}\)：\(y=-x^{2}+2\)截\(x\)轴所得的线段长等于\( \sqrt {2}b.C_{2}\)与\(y\)轴的交点为\(M\)，过点\(P(0,1)\)作直线\(l\)与\(C_{2}\)相交于点\(A\)，\(B\)，直线\(MA\)，\(MB\)分别与\(C_{1}\)相交于\(D\)、\(E\)．
              \((1)\)求证：\( \overrightarrow{MA}⊥ \overrightarrow{MB}\)；
              \((2)\)设\(\triangle MAB\)，\(\triangle MDE\)的面积分别为\(S_{1}\)、\(S_{2}\)，若\(S_{1}=λ^{2}S_{2}(λ > 0)\)，求\(λ\)的取值范围．
              难度：中等
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            • 8．
              已知椭圆\(C\)：\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)的左、右焦点分别是\(F_{1}\)，\(F_{2}\)，点\(B(0, \sqrt {3})\)在椭圆\(C\)上，\(\triangle F_{1}BF_{2}\)是等边三角形．
              \((\)Ⅰ\()\)求椭圆\(C\)的标准方程；
              \((\)Ⅱ\()\)点\(A\)在椭圆\(C\)上，线段\(AF_{1}\)与线段\(BF_{2}\)交于点\(M\)，若\(\triangle MF_{1}F_{2}\)与\(\triangle AF_{1}F_{2}\)的面积之比为\(2\)：\(3\)，求点\(M\)的坐标．
              难度：中等
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            • 9．
              已知椭圆\(C： \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)过点\((1, \dfrac {3}{2})\)，且离心率\(e= \dfrac {1}{2}\)．
              \((\)Ⅰ\()\)求椭圆方程；
              \((\)Ⅱ\()\)若直线\(l\)：\(y=kx+m(k\neq 0)\)与椭圆交于不同的两点\(M\)、\(N\)，且线段\(MN\)的垂直平分线过定点\(G( \dfrac {1}{8},0)\)，求\(k\)的取值范围．
              难度：中等
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            • 10．
              在平面\(xOy\)中，已知椭圆\(C\)：\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)过点\(P(2,1)\)，且离心率\(e= \dfrac { \sqrt {3}}{2}\)．
              \((1)\)求椭圆\(C\)的方程；
              \((2)\)直线\(l\) 方程为\(y= \dfrac {1}{2}x+m\)，直线\(l\) 与椭圆\(C\)交于\(A\)，\(B\)两点，求\(\triangle PAB\)面积的最大值．
              难度：中等
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