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          共50条信息

            • 1．
              已知椭圆\(C\)：\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)的离心率\(e= \dfrac { \sqrt {2}}{2}\)，且椭圆\(C\)上一点\(M\)与椭圆左右两个焦点构成的三角形周长为\(4+2 \sqrt {2}\)．
              \((1)\)求椭圆\(C\)的方程；
              \((2)\)如图，设点\(D\)为椭圆上任意一点，直线\(y=m\)和椭圆\(C\)交于\(A\)、\(B\)两点，直线\(DA\)、\(DB\)与\(y\)轴的交点分别为\(P\)、\(Q\)，求证：\(∠PF_{1}F_{2}+∠QF_{1}F_{2}=90^{\circ}\)．
              难度：中等
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            • 2．
              以双曲线\( \dfrac {x^{2}}{4}- \dfrac {y^{2}}{12}=1\)的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程是 ______ ．
              难度：中等
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            • 3．
              在同一直角坐标系中，表示直线\(y=ax\)与\(y=x+a\)正确的是\((\)　　\()\)
              A．
              B．
              C．
              D．
              难度：中等
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            • 4．
              已知椭圆\(C\)：\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)的长轴长是短轴长的\( \dfrac {3 \sqrt {5}}{5}\)倍，\(A\)是椭圆\(C\)的左顶点，\(F\)是椭圆\(C\)的右焦点，点\(M(x_{0},y_{0})(x_{0} > 0,y_{0} > 0)\)，\(N\)都在椭圆\(C\)上．
              \((\)Ⅰ\()\)若点\(D(-1, \dfrac {2 \sqrt {10}}{3})\)在椭圆\(C\)上，求\(|NF|\)的最大值；
              \((\)Ⅱ\()\)若\( \overrightarrow{OM}=2 \overrightarrow{AN}(O\)为坐标原点\()\)，求直线\(AN\)的斜率．
              难度：中等
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            • 5．
              已知椭圆\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)过点\((0,-1)\)，离心率\(e= \dfrac { \sqrt {2}}{2}\)．
              \((\)Ⅰ\()\)求椭圆的方程；
              \((\)Ⅱ\()\)已知点\(P(m,0)\)，过点\((1,0)\)作斜率为\(k(k\neq 0)\)直线\(l\)，与椭圆交于\(M\)，\(N\)两点，若\(x\)轴平分\(∠MPN\)，求\(m\)的值．
              难度：中等
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            • 6．
              若椭圆\(E_{1}\)：\( \dfrac {x^{2}}{a_{1}^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b_{1}^{2}}=1\)和椭圆\(E_{2}\)：\( \dfrac {x^{2}}{a_{2}^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b_{2}^{2}}=1\)满足\( \dfrac {a_{1}}{a_{2}}= \dfrac {b_{1}}{b_{2}}=m(m > 0)\)，则称这两个椭圆相似，\(m\)称为其相似比．
              \((1)\)求经过点\((2, \sqrt {6})\)，且与椭圆\( \dfrac {x^{2}}{4}+ \dfrac {y^{2}}{2}=1\)相似的椭圆方程．
              \((2)\)设过原点的一条射线\(l\)分别与\((1)\)中的两个椭圆交于\(A\)、\(B\)两点\((\)其中点\(A\)在线段\(OB\)上\()\)，求\(|OA|+ \dfrac {1}{|OB|}\)的最大值和最小值．
              难度：中等
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            • 7．
              已知椭圆\(C\)：\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)的两个焦点分别为\(F_{1}\)，\(F_{2}\)，离心率为\( \dfrac {1}{2}.\)设过点\(F_{2}\)的直线\(l\)与椭圆\(C\)相交于不同两点\(A\)，\(B\)，\(\triangle AB F_{ 1 }\)周长为\(8\)．
              \((\)Ⅰ\()\)求椭圆\(C\)的标准方程；
              \((\)Ⅱ\()\)已知点\(T(4,0)\)，证明：当直线\(l\)变化时，总有\(TA\)与\(TB\)的斜率之和为定值．
              难度：中等
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            • 8．
              已知椭圆\(C： \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1\;(a > b > 0)\)过\(A(2,0)\)，\(B(0,1)\)两点．
              \((\)Ⅰ\()\)求椭圆\(C\)的方程及离心率；
              \((\)Ⅱ\()\)设点\(Q\)在椭圆\(C\)上\(.\)试问直线\(x+y-4=0\)上是否存在点\(P\)，使得四边形\(PAQB\)是平行四边形？若存在，求出点\(P\)的坐标；若不存在，说明理由．
              难度：中等
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            • 9．
              已知椭圆\(C\)：\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)过点\(P(-1,-1)\)，\(c\)为椭圆的半焦距，且\(c= \sqrt {2}b.\)过点\(P\)作两条互相垂直的直线\(l_{1}\)，\(l_{2}\)与椭圆\(C\)分别交于另两点\(M\)，\(N\)．
              \((1)\)求椭圆\(C\)的方程；
              \((2)\)若直线\(l_{1}\)的斜率为\(-1\)，求\(\triangle PMN\)的面积；
              \((3)\)若线段\(MN\)的中点在\(x\)轴上，求直线\(MN\)的方程．
              难度：中等
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            • 10．
              已知椭圆\(C\)：\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)的焦点\(F_{1}\)的坐标为\((-c,0)\)，\(F_{2}\)的坐标为\((c,0)\)，且经过点\(P(1, \dfrac {3}{2})\)，\(PF_{2}⊥x\)轴．
              \((1)\)求椭圆\(C\)的方程；
              \((2)\)设过\(F_{1}\)的直线\(l\)与椭圆\(C\)交于\(A\)，\(B\)两不同点，在椭圆\(C\)上是否存在一点\(M\)，使四边形\(AMBF_{2}\)为平行四边形？若存在，求出直线\(l\)的方程；若不存在，说明理由．
              难度：中等
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