知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知点F（1，0），直线l：x=-1，直线l'垂直 l于点P，线段PF的垂直平分线交l于点Q．
（Ⅰ）求点Q的轨迹 C的方程；
（Ⅱ）已知点 H（1，2），过F且与x轴不垂直的直线交C于A，B两点，直线AH，BH分别交l于点M，N，求证：以MN为直径的圆必过定点．

难度：中等

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2．抛物线E：y²=2px（p＞0）的焦点为F，过F且斜率为l的直线，交E于A，B两点，线段AB的中点M的纵坐标为2．
（1）求点M到E的准线的距离；
（2）设E的准线与x轴的交点为P，将直线l绕点F旋转直某一位置得直线l′，l′交E与C，D两点，E上是否存在一点N，满足
PC
+
PD
=
PN
？若存在，求直线l′的斜率；若不存在，请说明理由．

难度：中等

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3．已知M是直线l：x=-1上的动点，点F的坐标是（1，0），过M的直线l′与l垂直，并且l′与线段MF的垂直平分线相交于点N．
（Ⅰ）求点N的轨迹C的方程；
（Ⅱ）设曲线C上的动点A关于x轴的对称点为A′，点P的坐标为（2，0），直线AP与曲线C的另一个交点为B（B与A′不重合），是否存在一个定点T，使得T，A′，B三点共线？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．

难度：中等

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4．已知直线l与抛物线y²=8x交于A，B两点，且l经过抛物线的焦点F；
（1）若已知A点的坐标为（8，8），求线段AB中点到准线的距离．
（2）求△ABO面积最小时，求直线l的方程．

难度：中等

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5．已知过抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点，斜率为2
2
的直线交抛物线于A(x1，y2)，B(x2，y2)，且|AB|=
9
2

（1）求该抛物线的方程；
（2）在抛物线C上求一点D，使得点D直线y=x+3的距离最短．

难度：中等

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6．已知点F（1，0），动点P到直线x=-2的距离比到F的距离大1．
（1）求动点P所在的曲线C的方程；
（2）A，B为曲线C上两动点，若|AF|+|BF|=4，求证：AB垂直平分线过定点，并求出该定点．

难度：中等

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7．过抛物线的顶点任作互相垂直的两条弦，交抛物线于两点，求证：这两点所连线段中点的轨迹是抛物线．

难度：中等

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8．已知抛物线C：y²=4x，其焦点为F，定点E（1，2）．
（1）过点G（5，-2）的直线与抛物线C交于M，N两点（不同于点E），记直线EM，EN的斜率分别为k₁，k₂，求k₁•k₂；
（2）设Q为抛物线C的准线上一点，是否存在过焦点F的直线l与抛物线C交于不同的两点A，B，使得△ABQ为正三角形？若能，求出直线l的方程；若不能，请说明理由．

难度：中等

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9． P为抛物线x²=-4y上一动点，M为圆（x-3）²+（y-2）²=4上一动点，求d+PM最小值（d为P到y=1的距离）．

难度：中等

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10．若将抛物线y=x²+2x-1按向量
a
=（h，k）平移后得到抛物线的解析式为y=x²，试求
a
．

难度：中等

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