知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
已知圆$C$：$(x+1)^{2}+y^{2}=16$，点$F(1,0)$，$P$是圆上一动点，点$E$在线段$FP$上，点$Q$在半径$CP$上，且满足$ \overrightarrow{FP}=2 \overrightarrow{EP}, \overrightarrow{EQ}\cdot \overrightarrow{FP}=0$．
$(1)$当$P$在圆上运动时，求点$Q$的轨迹$Γ$的方程；
$(2)$设过点$A(2,0)$的直线$l$与轨迹$Γ$交于点$B(B$不在$x$轴上$)$，垂直于$l$的直线交$l$于点$M$，与$y$轴交于点$H$，若$ \overrightarrow{FB}\cdot \overrightarrow{FH}=0$，求点$M$横坐标的取值范围．

难度：中等

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2．

若长度为定值$4$的线段$AB$的两端点分别在$x$轴正半轴和$y$轴正半轴上移动，$P(x,y)$为$\triangle OAB$的外心轨迹上一点，则$x+y$的最大值为$($　　$)$

A．$1$

B．$4$

C．$ \sqrt {2}$

D．$2 \sqrt {2}$

难度：中等

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3．
点$M$为正方体$ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$的内切球$O$球面上的动点，点$N$为$B_{1}C_{1}$上一点，$NC_{1}=2NB_{1}$，$DM⊥BN$，若球$O$的体积为$9 \sqrt {2}π$，则动点$M$的轨迹的长度为 ______ ．

难度：中等

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4．
已知动圆$E$经过点$F(1,0)$，且和直线$l$：$x=-1$相切．
$($Ⅰ$)$求该动圆圆心$E$的轨迹$G$的方程；
$($Ⅱ$)$已知点$A(3,0)$，若斜率为$1$的直线$l$与线段$OA$相交$($不经过坐标原点$O$和点$A)$，且与曲线$G$交于$B$、$C$两点，求$\triangle ABC$面积的最大值．

难度：中等

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5．
已知点$F_{1}(- \sqrt {2},0)$，圆$F_{2}$：$(x- \sqrt {2})^{2}+y^{2}=16$，点$M$是圆上一动点，$MF_{1}$的垂直平分线与$MF_{2}$交于点$N$．
$(1)$求点$N$的轨迹方程；
$(2)$设点$N$的轨迹为曲线$E$，过点$P(0,1)$且斜率不为$0$的直线$l$与$E$交于$A$，$B$两点，点$B$关于$y$轴的对称点为$B′$，证明直线$AB′$过定点，并求$\triangle PAB′$面积的最大值．

难度：中等

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6．过x轴下方的一动点P作抛物线C：x²=2y的两切线，切点分别为A，B，若直线AB到圆x²+y²=1相切，则点P的轨迹方程为（　　）

A．y²-x²=1（y＜0）

B．（y+2）²+x²=1

C． $x%5E%7B2%7D%2B%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7B4%7D%3D1%28y%EF%BC%9C0%29$

D．x²=-y-1

难度：中等

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7．为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川上相距8km的A，B两点各建一个考察基地．视冰川面为平面形，以过A，B两点的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系（图）．在直线x=2的右侧，考察范围为到点B的距离不超过 $%20%5Cfrac%20%7B6%20%5Csqrt%20%7B5%7D%7D%7B5%7D$ km的区域；在直线x=2的左侧，考察范围为到A，B两点的距离之和不超过4 $%20%5Csqrt%20%7B5%7D$ km的区域．
（Ⅰ）求考察区域边界曲线的方程；
（Ⅱ）如图所示，设线段P₁P₂，P₂P₃是冰川的部分边界线（不考虑其他边界），当冰川融化时，边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动，第一年移动0.2km，以后每年移动的距离为前一年的2倍，求冰川边界线移动到考察区域所需的最短时间．

难度：中等

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8．已知A（-2，0），B（2，0），且△ABM的周长等于 $2%20%5Csqrt%20%7B6%7D%2B4$ ．
（1）求动点M的轨迹G的方程；
（2）已知点C，D分别为动直线y=k（x-2）（k≠0）与轨迹G的两个交点，问在x轴上是否存在定点E，使 $%20%5Coverrightarrow%20%7BEC%7D%5Ccdot%20%20%5Coverrightarrow%20%7BED%7D$ 为定值？若存在，试求出点E的坐标和定值；若不存在，请说明理由．

难度：中等

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9．在平面直角坐标系中，已知点A（ $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$ ，0），点B为直线x=- $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$ 上的动点，点C是线段AB与y轴的交点，点M满足 $%20%5Coverrightarrow%20%7BBM%7D$ • $%20%5Coverrightarrow%20%7BOC%7D$ =0， $%20%5Coverrightarrow%20%7BCM%7D$ • $%20%5Coverrightarrow%20%7BAB%7D$ =0．
（1）求动点M的轨迹E的方程；
（2）设点P是轨迹E上的动点，点R、N在y轴上，圆（x-1）²+y²=1内切于△PRN，求△PRN的面积的最小值．

难度：中等

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