知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．抛物线y=ax²的焦点为F（0，1），P为该抛物线上的动点，则a= ；线段FP中点M的轨迹方程为．

难度：中等

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2．已知F是抛物线y²=4x上的焦点，P是抛物线上的一个动点，若动点M满足
FP
=2
FM
，则M的轨迹方程是．

难度：中等

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3．在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C上任意一点到点M（0，
1
2
）的距离与到直线y=-
1
2
的距离相等．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）设A₁（x₁，0），A₂（x₂，0）是x轴上的两点（x₁+x₂≠0，x₁x₂≠0），过点A₁，A₂分别作x轴的垂线，与曲线C分别交于点A₁′，A₂′，直线A₁′A₂′与x轴交于点A₃（x₃，0），这样就称x₁，x₂确定了x₃．同样，可由x₂，x₃确定了x₄．现已知x₁=6，x₂=2，求x₄的值．

难度：中等

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4．已知不过坐标原点O的直线L与抛物线y²=2x相交于A、B两点，且OA⊥OB，OE⊥AB于E．
①求证：直线L过定点；
②求点E的轨迹方程．

难度：中等

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5． △ABC的一边的两个端点是B（0，6）和C（0，-6），另两边的斜率乘积是
4
9
，则顶点A的轨迹方程是．

难度：中等

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6．某地政府为科技兴市，欲将如图所示的一块不规则的非农业用地规划成一个矩形高科技工业园区．已知AB⊥BC，OA∥BC且AB=BC=2AO=4km，曲线段OC是以点O为顶点且开口向右的抛物线的一段．
（1）建立适当的坐标系，求曲线段的方程；
（2）如果要使矩形的相邻两边分别落在AB、BC上，且一个顶点落在OC上，问如何规划才能使矩形工业园区的用地面积最大？并求出最大的用地面积（精确到0.1km²）．

难度：中等

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7．在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AB=2，AC=
2
2
，曲线E过C点，动点P在E上运动，且保持|PA|+|PB|的值不变，求曲线E的方程．

难度：中等

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8．已知一曲线是与两个定点A（-3，0）、B（3，0）的距离之比为
1
2
的点的轨迹，求此曲线的方程．

难度：中等

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9．已知平面内点M到椭圆
x2
169
+
y2
144
=1的左焦点和右焦点的距离之比为2：3，试求点M的轨迹方程．

难度：中等

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10．点P在以F₁、F₂为焦点的椭圆
x2
16
+
y2
9
=1上运动，则△F₁F₂P的重心G的轨迹方程是．

难度：中等

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