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          共50条信息

            • 1．
              如图，三棱锥\(P-ABC\)中，平面\(PAC⊥\)平面\(ABC\)，\(∠ABC= \dfrac {π}{2}\)，点\(D\)、\(E\)在线段\(AC\)上，且\(AD=DE=EC=2\)，\(PD=PC=4\)，点\(F\)在线段\(AB\)上，且\(EF/\!/BC\)．
              \((\)Ⅰ\()\)证明：\(AB⊥\)平面\(PFE\)．
              \((\)Ⅱ\()\)若四棱锥\(P-DFBC\)的体积为\(7\)，求线段\(BC\)的长．
              难度：中等
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            • 2．
              如图，在三棱台\({ABC}{-}A_{1}B_{1}C_{1}\)中，\(D{,}E\)分别是\({AB}{,}{AC}\)的中点，\({AB}{=}2A_{1}B_{1}{,}B_{1}E{⊥}\)平面\(ABC\)，且\({∠}{ACB}{=}90^{{∘}}\)．

              \((1)\)求证：\(B_{1}C{/\!/}\)平面\(A_{1}{DE}\)；
              \((2)\)若\({AC}{=}3{BC}{=}6{,}{\triangle }AB_{1}C\)为等边三角形，求四棱锥\(A_{1}{-}B_{1}C_{1}{ED}\)的体积．
              难度：中等
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            • 3．

              如图\(1\)，已知矩形\(ABCD\)中，点\(E\)是边\(BC\)上的点，\(AE\)与\(BD\)相交于点\(H\)，且\(BE=\sqrt{{5}}\)，\(AB={2}\sqrt{{5}}\)，\(BC={4}\sqrt{{5}}\)，现将\(\triangle ABD\)沿\(BD\)折起，如图\(2\)，点\(A\)的位置记为\(A′\)，此时\({A}{{{'}}}E=\sqrt{{17}}\)．

              \((\)Ⅰ\()\)求证：\(BD⊥\)平面\(A′HE\)；

              \((\)Ⅱ\()\)求三棱锥\(D-A′EH\)的体积．

              难度：中等
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            • 4．
              如图，在四棱锥\(P-ABCD\)中，\(AD/\!/BC\)，\(∠ADC=∠PAB=90^{\circ}\)，\(BC=CD= \dfrac {1}{2}AD.E\)为棱\(AD\)的中点，异面直线\(PA\)与\(CD\)所成的角为\(90^{\circ}\)．
              \((\)Ⅰ\()\)在平面\(PAB\)内找一点\(M\)，使得直线\(CM/\!/\)平面\(PBE\)，并说明理由；
              \((\)Ⅱ\()\)若二面角\(P-CD-A\)的大小为\(45^{\circ}\)，求直线\(PA\)与平面\(PCE\)所成角的正弦值．

              难度：中等
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            • 5．
              如图，在四棱锥\(A-EFCB\)中，\(\triangle AEF\)为等边三角形，平面\(AEF⊥\)平面\(EFCB\)，\(EF/\!/BC\)，\(BC=4\)，\(EF=2a\)，\(∠EBC=∠FCB=60^{\circ}\)，\(O\)为\(EF\)的中点．
              \((\)Ⅰ\()\)求证：\(AO⊥BE\)．
              \((\)Ⅱ\()\)求二面角\(F-AE-B\)的余弦值；
              \((\)Ⅲ\()\)若\(BE⊥\)平面\(AOC\)，求\(a\)的值．
              难度：中等
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            • 6．
              如图，边长为\(a\)的等边三角形\(ABC\)的中线\(AF\)与中位线\(DE\)交于点\(G\)，已知\(\triangle A′DE(A′∉\)平面\(ABC)\)是\(\triangle ADE\)绕\(DE\)旋转过程中的一个图形，有下列命题：
              \(①\)平面\(A′FG⊥\)平面\(ABC\)；
              \(②BC/\!/\)平面\(A′DE\)；
              \(③\)三棱锥\(A′-DEF\)的体积最大值为\( \dfrac {1}{64}a^{3}\)；
              \(④\)动点\(A′\)在平面\(ABC\)上的射影在线段\(AF\)上；
              \(⑤\)二面角\(A′-DE-F\)大小的范围是\([0, \dfrac {π}{2}].\)
              其中正确的命题是 ______ \((\)写出所有正确命题的编号\()\)
              难度：中等
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            • 7．
              如图，三棱台\(DEF-ABC\)中，底面是以\(AB\)为斜边的直角三角形，\(FC⊥\)底面\(ABC\)，\(AB=2DE\)，\(G\)，\(H\)分别为\(AC\)，\(BC\)的中点．
              \((I)\)求证：直线\(BD/\!/\)平面\(FGH\)；
              \((\)Ⅱ\()\)若\(BC=CF= \dfrac {AB}{2}\)，求二面角\(A-GH-F\)的余弦值．
              难度：中等
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            • 8．
              如图所示，在四棱锥\(P-ABCD\)中，\(PA⊥\)底面 \(ABCD\)，\(AB⊥AD\)，\(AC⊥CD\)，\(∠ABC=60^{\circ}\)，\(PA=AB=BC\)，\(E\)是\(PC\)的中点，证明：
              \((1)AE⊥CD\)
              \((2)PD⊥\)平面\(ABE\)．
              难度：中等
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            • 9．

              下图所示的四棱锥\(P—ABCD\)中，底面\(ABCD\)为菱形，\(PA⊥\)平面\(ABCD\)，且\(PA=AD=2 \)，\(\angle DAB={{60}^{0}}\)， \(E\)为\(PC\)的中点，


              \((1)\)求证：\(PA/\!/\)平面\(BDE\)； 

              \((2)\)求直线\(BE\)与平面\(PAC\)夹角的正切值．

              难度：中等
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            • 10．
              如图所示，在正方体\(ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\)中，\(S\)是\(B_{1}D_{1}\)的中点，\(E\)、\(F\)、\(G\)分别是\(BC\)、\(CD\)和\(SC\)的中点\(.\)求证：
              \((1)\)直线\(EG/\!/\)平面\(BDD_{1}B_{1}\)；
              \((2)\)平面\(EFG/\!/\)平面\(BDD_{1}B_{1}\)．
              难度：中等
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