知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，面积为
9
2
的△ACB是等腰直角三角形且∠ACB=90°，C₁B⊥面ABC，C₁B=3．
（1）若AB的中点为S，证明：CS⊥C₁A．
（2）设T(3-λ，λ，
4λ+3
2
)，是否存在实数λ，使得直线TB与平面ACC₁A₁的夹角为
π
6
？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．

难度：中等

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2．（1）定理：平面内的一条直线与平面的一条斜线在平面内的射影垂直，则这条直线垂直于斜线．
试证明此定理：如图1所示：若PA⊥α，A是垂足，斜线PO∩α=O，a⊂α，a⊥AO，试证明a⊥PO

（2）如图2，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点P在侧面BCC₁B₁及其边界上运动，并且总是保持AP⊥BD₁，试证明动点P在线段B₁C上．

难度：中等

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3．如图，设四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面为菱形，A₁C与底面垂直．过点C作平面与四棱柱的侧棱垂直，且分别交A₁A于点E，交BB₁于点F，交DD₁于点G．
（1）证明：面A₁CC₁⊥面EFCG；
（2）证明：四边形EFCG为菱形．

难度：中等

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4．已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，
（1）哪些棱所在直线与直线BA₁是异面直线？
（2）哪些棱所在的直线与AA₁垂直？
（3）求A₁B与B₁D₁所成角；
（4）求AC与BD₁所成角．

难度：中等

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5．已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁，A₁在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，∠BCA=90°，AC=BC=2，又知BA₁⊥AC₁
（1）求证：AC₁⊥平面A₁BC；
（2）求以△ABA₁为底面的三棱锥C-ABA₁的高．

难度：中等

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6．如图，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，四边形ABCD为梯形，AD∥BC，且AD=2BC，过A₁，C，D三点的平面记为α，BB₁与α的交点为E，F为BC的中点，G在侧棱AA₁上，
（1）证明：E为BB₁的中点，
（2）若AG：A₁G=3：1，求证：FG∥平面CDE．

难度：中等

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7．在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，若AB₁⊥BC₁，求证：AB₁⊥A₁C．

难度：中等

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8．如图，已知
AA′
=
BB′
=
CC′
，求证：
（1）△ABC≌△A′B′C′；
（2）
AB
=
A′B′
，
AC
=
A′C′
．

难度：中等

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