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棱长为\(2\)的正方体\(ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\)中，\(E\)为棱\(CC_{1}\)的中点，点\(P\)，\(Q\)分别为面\(A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\)和线段\(B_{1}C\)上的动点，则\(\triangle PEQ\)周长的最小值为
如图，在长方体\(ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\)中，\(AB=AD=1\)，\(AA_{1}=2\)，一只蚂蚁沿侧面\(CC_{1}D_{1}D\)从点\(C\)出发，经过棱\(DD_{1}\)上的一点\(M\)到达点\(A_{1}\)，当蚂蚁所走的路径最短时．
\((1)\)求\(B_{1}M\)的长；
\((2)\)求证：\(B_{1}M⊥\)平面\(MAC\)．
如图所示是正方体的平面展开图\(.\)在正方体中，下列结论正确的序号是
\(①BM\)与\(ED\)平行；
\(②CN\)与\(BE\)是异面直线；
\(③CN\)与\(BM\)成\(60^{\circ}\)角；
\(④DM\)与\(BN\)垂直．
若母线长为\(1\)的圆锥的侧面展开图的圆心角等于\(\dfrac{4\pi}{3}\)，则该圆锥的体积为____\(.\)
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