知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知点P（3，m）在以点F为焦点的抛物线
x=4t2
y=4t
（t为参数）上，则|PF|的长为．

难度：中等

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2．已知抛物线的参数方程为
x=4t2
y=4t
，（t为参数），焦点为F，准线为l，过抛物线上一点P作PE⊥l于E，若直线EF的倾斜角为150°，则|PF|= ．

难度：中等

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3．选作题，本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．（几何证明选讲）
如图，AB是半圆的直径，C是AB延长线上一点，CD切半圆于点D，CD=2，DE⊥AB，垂足为E，且E是OB的中点，求BC的长．
B．（矩阵与变换）
已知矩阵
1 2
2 a
的属于特征值b的一个特征向量为
1
1
，求实数a、b的值．
C．（极坐标与参数方程）
在平面直角坐标系xOy中，已知点A（1，-2）在曲线
x=2pt2
y=2pt
（t为参数，p为正常数），求p的值．
D．（不等式选讲）
设a₁，a₂，a₃均为正数，且a₁+a₂+a₃=1，求证：
1
a1
+
1
a2
+
1
a3
≥9．

难度：中等

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4．设函数f（x）=x²-（a+3）x+3a （a∈R ），若对任意的实数a，函数y=f（x）的图象都不经过点（2p，p²），则实数p的值为．

难度：中等

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5．把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线．
（1）
x=1+
1
2
t
y=2+
3
2
t
（t为参数）；
（2）
x=1+t2
y=2+t
（t为参数）．

难度：中等

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6．（坐标系与参数方程选做题）已知曲线
y=sinθ
x=
1
2
-
1
2
cos2θ
(θ为参数)与直线x=a有两个不同的公共点，则实数a的取值范围是．

难度：中等

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7．以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，并且两种坐标系的长度单位相同．已知直线的极坐标方程为ρcosθ-ρsinθ+2=0，则它与曲线
x=sinα+cosα
y=1+sin2α
（α为参数）的交点的直角坐标是．

难度：中等

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8．已知曲线C的方程为
x=8t2
y=8t
(t为参数），过点F（2，0）作一条倾斜角为
π
4
的直线交曲线C于A、B两点，则AB的长度为．

难度：中等

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