知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．若函数f（x）=2x-
a
x
在定义域（0，1]上是减函数，求实数a的取值范围．

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2．已知函数f（x）=lg（m^x-2^x）（0＜m＜1）．
（1）当m=
1
2
时，求f（x）的定义域；
（2）试判断函数f（x）在区间（-∞，0）上的单调性并给出证明；
（3）若f（x）在（-∞，-1]上恒取正值，求m的取值范围．

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3．对定义在[0，1]上，并且同时满足以下两个条件的函数f（x）成为M函数：①对任意的x∈[0，1]恒有f（x）≥0；②当x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1时，总有f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）成立，则下列函数不是M函数的是（　　）

A．f（x）=x²

B．f（x）=2^x-1

C．f（x）=ln（x²+1）

D．f（x）=x²+1

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4．定义在R上的函数f（x）满足f（x）=e^2x+x²-ax，函数g（x）=f（
x
2
）-
1
4
x²+（1-b）x+b（其中a，b为常数），若函数f（x）在x=0处的切线与y轴垂直．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函数g（x）的单调区间；
（Ⅲ）若s，t，r满足|s-r|＜|t-r|恒成立，则称s比t更靠近，在函数g（x）有极值的前提下，当x≥1时，
e
x
比e^x-1+b更靠近，试求b的取值范围．

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5．已知函数f（x）=lnx-ax²-a+2（a∈R，a为常数）
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）若存在x₀∈（0，1]，使得对任意的a∈（-2，0]，不等式me^a+f（x₀）＞0（其中e为自然对数的底数）都成立，求实数m的取值范围．

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6．已知函数y=x+
a
x
有如下性质：如果常数a＞0，那么该函数在(0，
a
]上是减函数，在[
a
，+∞)上是增函数．
（1）如果函数y=x+
3b
x
（x＞0）在（0，3]上是减函数，在[3，+∞）上是增函数，求b的值；
（2）设常数c∈[1，4]，求函数f（x）=x+
c
x
（1≤x≤2）的最大值和最小值．

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7．已知函数f（x）=
1
1+x2

（1）判断函数f（x）在（-∞，0）上的单调性，并证明你的结论．
（2）求出函数f（x）在[-3，-1]上的最大值与最小值．

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8．已知函数f（x）=
bx+c
ax2+1
是R上的奇函数（a，b，c∈Z），f(
1
2
)=
2
5
，f（2）＞
1
3
，
（1）求a，b，c的值；
（2）判断f（x）在（-1，1）上的单调性，并证明；
（3）判断f（x）在（-∞，-1）和（1，+∞）上的单调性（不需要证明），并写出函数f（x）在R上的最值；
（4）利用单调性和奇偶性作出函数f（x）的草图．

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