知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知函数\(f(x){=}\dfrac{a{⋅}2^{x}{+}b{+}1}{2^{x}{+}1}\)是定义域在\(R\)上的奇函数，且\(f(2){=}\dfrac{6}{5}\)．
\((1)\)求实数\(a\)、\(b\)的值；
\((2)\)判断函数\(f(x)\)的单调性，并用定义证明；
\((3)\)解不等式：\(f(\log{{ }}_{\frac{1}{2}}(2x{-}2){]+}f{[}\log_{2}(1{-}\dfrac{1}{2}x){]\geqslant }0\)．

难度：较难

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2．
\((1)\)判断函数\(f(x)=\dfrac{ax}{x-1}(a\ne 0)\)在区间\((-1,1)\)上的单调性，并用定义法证明它的单调性。

\((2)\)求函数\(f(x)={{\log }_{\frac{1}{3}}}({{x}^{2}}-16)\)的单调增区间。

难度：较难

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3．已知函数\(f(x){=}\log_{a}\dfrac{1{-}mx}{x{+}1}(a{ > }0{,}a{\neq }1{,}m{\neq -}1)\)，是定义在\(({-}1{,}1)\)上的奇函数．
\((I)\)求\(f(0)\)的值和实数\(m\)的值；

\((II)\)当\(m{=}1\)时，判断函数\(f(x)\)在\(({-}1{,}1)\)上的单调性，并给出证明；

\((III)\)若\(f(\dfrac{1}{2}){ > }0\)且\(f(b{-}2){+}f(2b{-}2){ > }0\)，求实数\(b\)的取值范围．

难度：较难

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4．
求函数\(f(x)=\log \;_{ \frac {1}{3}}(x^{2}-5x+4)\)的定义域和单调区间．

难度：较难

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5．
\(f(x)\)是定义在\((-∞,0)∪(0,+∪)\)上的函数，对任意非零实数\(a\)，\(b\)满足，\(f(ab)=f(a)+f(b)\)，且\(f(x)\)在\((0,+∞)\)上是增函数，

\(①\)求\(f(1)\)，\(f(-1)\)的值；

\(②\)判断函数\(f(x)\)的奇偶性；

\(③\)若\(f(3)=1\)，求不等式\(f(x)+f(x-2) > 1\)的解集．

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6．已知幂函数f(x)=x-2m2+m+3（m∈Z）为偶函数，且在（0，+∞）上是增函数．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若g（x）=log_a[f（x）-ax]（a＞0，a≠1）在区间（2，3）上为增函数，求实数a的取值范围．

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7．设函数f（x）=ln
x+1
x-1
．
（Ⅰ）判断函数f（x）在区间（1，+∞）上的单调性，并证明；
（Ⅱ）对于区间[2，4]上的任意一个x，不等式f（x）≥e^x+m恒成立，求实数m的取值范围．

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8．已知函数f（x）=log
1
2
[x2-2(2a-1)x+8]，a∈R．
（1）若f（x）在[a，+∞）上为减函数，求a的取值范围；
（2）若关于x的方程f（x）=log
1
2
（x+3）-1在（1，3）内有两不等实根，求a的取值范围．

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9．已知函数f(x)=(log2x)2-2log
1
2
x+1，g(x)=x2-ax+1
（1）求函数y=f（2cosx-1）的定义域；
（2）若存在a∈R，对任意x1∈[
1
8
，2]，总存在唯一x₀∈[-1，2]，使得f（x₁）=g（x₀）成立．求实数a的取值范围．

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10．已知函数f（x）=log
1
2
|cos（
π
3
-x）|．
（1）求其定义域和值域；
（2）判断其奇偶性；
（3）求其周期；
（4）写出单调区间．

难度：较难

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