知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知f（x）是定义在R上的奇函数，若f（x）的最小正周期为3，且f（2015）＞1，f（1）=
2m+3
m-1
，则m的取值范围是．

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2．已知函数f（x）（x∈D），若存在常数T（T＞0），对任意x∈D都有f（x+T）=T•f（x），则称函数f（x）为T倍周期函数
（1）判断h（x）=x是否是T倍周期函数，并说明理由．
（2）证明g(x)=(
1
4
)x是T倍周期函数，且T的值是唯一的．
（3）若f（n）（n∈N^*）是2倍周期函数，f（1）=1，f（2）=-4，S_n表示f（n）的前n 项和，C_n=
S2n
S2n-1
，若C_n＜log_a（a+1）+10恒成立，求a的取值范围．

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3．已知f（x）是周期为4的奇函数，x∈[0，2]时，f（x）=

1-(x-1)2

．若方程f（x）-tx=0恰好有5个实根，则正实数t等于（　　）

A．

B．

C．

D．

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4．已知f（x）在R上是奇函数，且满足f（x+2）=-f（x），当x∈[0，1]时，f（x）=2x，则f（

）=（　　）

A．-1

B．1

C．-19

D．19

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5．已知集合M是满足下列性质的函数f（x）的全体，存在非零常数T，对任意x∈R，有f（x+T）=Tf（x）成立．
（1）函数f（x）=x是否属于集合M？说明理由；
（2）设f（x）∈M，且T=2，已知当1＜x＜2时，f（x）=x+lnx，求当-3＜x＜-2时，f（x）的解析式．

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6．已知定义在R上的偶函数f（x）是以π为最小正周期的周期函数，且当x∈[0，

]时，f(x)=sinx，则f(

8π

)的值为（　　）

A．-

B．

C．-

D．

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7．函数f（x）是奇函数，且对于任意的x∈R都有f（x+2）=f（x），若f（0.5）=-1，则f（7.5）=（　　）

A．-1

C．0.5

D．1

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8．设函数y=f（x）的定义域为D，如果存在非零常数T，对于任意x∈D，都有f（x+T）=T•f（x），则称函数y=f（x）是“似周期函数”，非零常数T为函数y=f（x）的“似周期”．现有下面四个关于“似周期函数”的命题：①如果“似周期函数”y=f（x）的“似周期”为-1，那么它是周期为2的周期函数；②函数f（x）=x是“似周期函数”； ③函数f（x）=2^-x是“似周期函数”； ④如果函数f（x）=cosωx是“似周期函数”，那么“ω=kπ，k∈Z”．
其中真命题的个数为（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

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9．设f是一个从实数集R映射到自身的函数，并且对任何x∈R均有|f（x）|≤1，以及f（x+
13
42
）+f（x）=f（x+
1
6
）+f（x+
1
7
）．
证明：函数f（x）是周期函数（即存在一个非零实数c，使得对任何x∈R，f（x+c）=f（x）成立）．

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10．已知函数f（x）的定义域为实数集R，
（1）若函数f（x）=2^xsin（πx），证明f（x+2）=4f（x）；
（2）若f（x+T）=kf（x）（k＞0，T＞0），若f（x）=a^xφ（x）（其中a为正的常数），试证明函数φ（x）是以T为周期的周期函数；
（3）若f（x+6）=
2
f（x），且当x∈[-3，3]时，f（x）=
1
10
x（x²-9），记S_n=f（2）+f（6）+f（10）+…+f（4n-2）n∈N^*，求使得S₁、S₂、S₃…S_n小于1000都成立的最大整数n．

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