知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．设函数f（x）=|2x-a|+|2x+1|（a＞0），g（x）=x+2．
（1）当a=1时，求不等式f（x）≤g（x）的解集；
（2）若f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围．

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2．设函数f（x）=x²+alnx+1（x＞0）．
（1）若f（3）=5，求f（
1
3
）的值；
（2）若x＞0时，f（x）≥1成立，求a的取值范围．

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3．已知f（x）=
ax2+x，x＞0
-2x，x≤0
，若不等式f（x-2）≥f（x）对一切x∈R恒成立，则a的最大值为．

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4． x∈R时，如果函数f（x）＞g（x）恒成立，那么称函数f（x）是函数g（x）的“优越函数”．若函数f（x）=2x²+x+2-|2x+1|是函数g（x）=|x-m|的“优越函数”，则实数m的取值范围是．

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5．（1）若ax＞lnx恒成立，求实数a的取值范围；
（2）证明：∀a＞0，∃x₀∈R，使得当x＞x₀时，ax＞lnx恒成立．

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6．若存在两个正实数x、y，使得等式x+a（y-2ex）（lny-lnx）=0成立，其中e为自然对数的底数，则实数a的取值范围为．

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7．已知函数f（x）=mx-
m
x
，g（x）=3lnx．
（1）当m=4时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（2）若x∈（1，
e
]（e是自然对数的底数）时，不等式f（x）-g（x）＜3恒成立，求实数m的取值范围．

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8．设函数f（x）=x²+ax+b，a，b∈R．
（Ⅰ）若2a+b=4，证明：|f（x）|在区间[0，4]上的最大值M（a）≥12；
（Ⅱ）存在实数a，使得当x∈[0，b]时，1≤f（x）≤10恒成立，求实数b的最大值．

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9．已知函数f（x）=lnx-kx+1．
（1）若f（x）≤0恒成立，试确定实数k的取值范围；
（2）证明：
ln2
3
+
ln3
8
+
ln4
15
+…
lnn
n2-1
+（1+
1
n
）ⁿ＜
n2+n+10
4
（n∈N^*且n＞1）．

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10．（Ⅰ）已知函数f（x）=|x+3|，g（x）=m-2|x-11|，若2f（x）≥g（x+4）恒成立，求实数m的取值范围．
（Ⅱ）已知实数x，y，z满足2x²+3y²+6z²=a（a＞0）且x+y+z的最大值是1，求a的值．

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