知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知f（x）是定义在[a，b]上的函数，如果存在常数M＞0，对区间[a，b]的任意划分：a=x₀＜x₁＜…＜x_n-1＜x_n=b，和式
n
i=1
|f（x_i）-f（x_i-1）|≤M恒成立，则称f（x）为[a，b]上的“绝对差有界函数”，注：
n
i=1
a_i=a₁+a₂+…+a_n；
（1）证明函数f（x）=sinx+cosx在[-
π
2
，0]上是“绝对差有界函数”；
（2）记集合A={f（x）|存在常数k＞0，对任意的x₁，x₂∈[a，b]，有|f（x₁）-f（x₂）|≤k|x₁-x₂|成立}，证明集合A中的任意函数f（x）均为“绝对差有届函数”；当[a，b]=[1，2]时，判断g（x）=
x
是否在集合A中，如果在，请证明并求k的最小值，如果不在，请说明理由；
（3）证明函数f（x）=
xcos
π
2x
0＜x≤1
0 x=0
不是[0，1]上的“绝对差有界函数．

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2．（1）若ax＞lnx恒成立，求实数a的取值范围；
（2）证明：∀a＞0，∃x₀∈R，使得当x＞x₀时，ax＞lnx恒成立．

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3．定义在R上的函数f（x）满足f（x）=e^2x+x²-ax，函数g（x）=f（
x
2
）-
1
4
x²+（1-b）x+b（其中a，b为常数），若函数f（x）在x=0处的切线与y轴垂直．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函数g（x）的单调区间；
（Ⅲ）若s，t，r满足|s-r|＜|t-r|恒成立，则称s比t更靠近，在函数g（x）有极值的前提下，当x≥1时，
e
x
比e^x-1+b更靠近，试求b的取值范围．

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4．设f（x）=
x2-1
lnx
．
（1）求证：f（x）在（0，1）和（1，+∞）上都是增函数；
（2）若在函数f（x）的定义域内，不等式af（x）＞x恒成立，求a的取值范围．

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5．设函数f（x）=x²-ax，g（x）=|x-a|，其中a为实数．
（I）若f（x）+g（x）是偶函数，求实数a的值；
（Ⅱ）设t∈R，若∃a∈[0，3]，对∀x∈[0，3]，都有f（x）+l≥tg（x）成立，求实数t的最大值．

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6．已知函数f（x）=mx-
m
x
，g（x）=3lnx．
（1）当m=4时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（2）若x∈（1，
e
]（e是自然对数的底数）时，不等式f（x）-g（x）＜3恒成立，求实数m的取值范围．

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7．函数f（x）=lnx，g（x）是f（x）的反函数．
（I）求证：当x≥0时，f（x+1）≥-
1
2
x²+x；
（Ⅱ）若g（x）+g（-x）≤2g（mx²）对任意x∈R恒成立，求实数m的取值范围．

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8．已知函数f(x)=
kx-1
x+1

（Ⅰ）若f（x）在（-1，+∞）上是增函数，求k的取值范围；
（Ⅱ）当x＞0时，f（x）＜ln（x+1）恒成立，求整数k的最大值．

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9．已知f（x）=1-
2
2x+1
，g（x）=2sin（2x-
π
6
）．
（1）若函数g（x）=（2^x+1）•f（x）+k有零点，求实数k的取值范围；
（2）对任意x₁∈（0，1），总存在x₂∈[-
π
4
，
π
6
]，使不等式f（x₁）-m•2 x1＞g（x₂）成立，求实数m的取值范围．

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10．设函数f（x）=log_a（1-x），g（x）=log_a（1+x）（a＞0且a≠1）．
（1）设a=10，F（x）=f（x）-g（x），若函数h（x）=F（x）-x一m在[0，
9
11
]上恒有零点，求实数m的取值范围：
（2）若关下x的方程ag(-x2+x+1)=a^f（m）-x有两个不等实很，求实数m的范围：
（3）若a＞1且在x∈[0，1]时，f（m-2x）＞
1
2
g（x）恒成立，求实数m的范围．

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