知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
已知函数\(f(x)=9^{x}-2a⋅3^{x}+3\)：
\((1)\)若\(a=1\)，\(x∈[0,1]\)时，求\(f(x)\)的值域；
\((2)\)当\(x∈[-1,1]\)时，求\(f(x)\)的最小值\(h(a)\)；
\((3)\)是否存在实数\(m\)、\(n\)，同时满足下列条件：\(①n > m > 3\)；\(②\)当\(h(a)\)的定义域为\([m,n]\)时，其值域为\([m^{2},n^{2}]\)，若存在，求出\(m\)、\(n\)的值，若不存在，请说明理由．

难度：较难

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2．
\((1)\)已知\(\tan β= \dfrac {1}{2}\)，求\(\sin ^{2}β-3\sin β\cos β+4\cos ^{2}β\)的值．
\((2)\)求函数定义域：\(y= \sqrt {-2\cos ^{2}x+3\cos x-1}+\lg (36-x^{2})\)．

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3．
设\(f(x)= \dfrac {1}{4^{x}+2}\)，先分别求\(f(0)+f(1)\)，\(f(-1)+f(2)\)，\(f(-2)+f(3)\)，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明．

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4．
设函数\(f(x)=|2x-1|+|2x-3|\)，\(x∈R\)．
\((1)\)解不等式\(f(x)\leqslant 5\)；
\((2)\)若\(g(x)= \dfrac {1}{f(x)+m}\)的定义域为\(R\)，求实数\(m\)的取值范围．

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5．
已知函数\(f(x)=x^{2}+(2a-1)x-3\)
\((1)\)当\(a=2\)，\(x∈[-2,3]\)时，求函数\(f(x)\)的值域；
\((2)\)若函数\(f(x)\)在\([-1,3]\)上的最大值为\(1\)，求实数\(a\)的值．

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6．
已知\(R\)上奇函数\(f(x)\)的图象关于直线\(x=1\)对称，\(x∈[0,1]\)时，\(f\left(x\right)= \dfrac{1}{2}x \)．
\((1)\)求\(f\left( \dfrac{15}{2}\right) \)的值；
\((2)\)当\(x∈[-1,3]\)时，求\(f(x)\)的解析式；
\((3)\)若\(f\left(x\right)=- \dfrac{1}{2} \)，求\(x\)的值．

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7．（2016春•东台市校级月考）设计一个水渠，其横截面为等腰梯形（如图所示），要求满足条件AB+BC+CD=a（常数），∠ABC=120°，写出横截面的面积y与腰长x的关系式，并求它的定义域和值．

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8．函数f(x)=
|x+1|+|x+2|-a
．
（1）a=5，函数f（x）的定义域A；
（2）设B={x|-1＜x＜2}，当实数a，b∈（B∩C_RA）时，证明：
|a+b|
2
＜|1+
ab
4
|．

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9．设函数y=f（x）的定义域为D，值域为A，如果存在函数x=g（t），使得函数y=f（g（t））的值域仍是A，那么称x=g（x）是函数y=f（x）的一个等值域变换．
（1）已知函数f（x）=x²-x+1，x∈B，x=g（t）=log₂t，t∈C．
1°若B，C分别为下列集合时，判断x=g（t）是不是函数y=f（x）的一个等值域变换：①B=R，C=（1，+∞）；②B=R，C=（2，+∞）
2°若B=[0，4]，C=[a，b]（0＜a＜b），若x=g（t）是函数y=f（x）的一个等值域变换，求a，b满足的条件；
（2）设f（x）=log₂x的定义域为x∈[2，8]，已知x=g（t）=
mt2-3t+n
t2+1
是y=f（x）的一个等值域变换，且函数y=f[g（t）]的定义域为R，求实数m，n的值．

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10．已知函数f（x）=log
1
2
|cos（
π
3
-x）|．
（1）求其定义域和值域；
（2）判断其奇偶性；
（3）求其周期；
（4）写出单调区间．

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