知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知函数f（x）=|x-10|+|x-20|，且满足f（x）＜10a+10（a∈R）的解集不是空集．
（Ⅰ）求实数a的取值集合A
（Ⅱ）若b∈A，a≠b，求证a^ab^b＞a^bb^a．

难度：较难

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2．设函数f（x）=|x+2|+|x-2|，x∈R，不等式f（x）≤6的解集为M．
（1）求M；
（2）当a，b∈M时，证明：3|a+b|≤|ab+9|．

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3．已知a、b、c为正数，
（1）若直线2x-（b-3）y+6=0与直线bx+ay-5=0互相垂直，试求2a+3b的最小值；
（2）求证：（ab+a+b+1）（ab+ac+bc+c²）≥16abc．

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4．己知a，b，c为正实数，且a+b+c=2．
（1）求证：ab+bc+ac≤
4
3
；
（2）若a，b，c都小于1，求a²+b²+c²的取值范围．

难度：较难

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5．设x，y，z均为正实数，且3^x=4^y=6^z
（1）若z=1，求（x-1）（2y-1）的值；
（2）求证：
1
z
-
1
x
=
1
2y
．

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6．已知a＞0，b＞0，且a+b=1，求证：
2a+1
+
2b+1
≤2
2
．

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7．已知函数f（x）=xlnx-2x+a，其中a∈R．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若方程f（x）=0没有实根，求a的取值范围；
（3）证明：ln1+2ln2+3ln3+…+nlnn＞（n-1）²，其中n≥2．

难度：较难

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8．已知集合D={（x₁，x₂）|x₁＞0，x₂＞0，x₁+x₂=k}（其中k为正常数）．
（1）设u=x₁x₂，求u的取值范围；
（2）求证：当k≥1时不等式(
1
x1
-x1)(
1
x2
-x2)≤(
k
2
-
2
k
)2对任意（x₁，x₂）∈D恒成立；
（3）求使不等式(
1
x1
-x1)(
1
x2
-x2)≥(
k
2
-
2
k
)2对任意（x₁，x₂）∈D恒成立的k²的范围．

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