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          共50条信息

            • 1．

              \(7.\) 体积为\(8\)的正三棱柱，底面边长是__________时，正三棱柱的表面积最小．

              难度：较难
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            • 2．
              已知函数\(f(x)= \dfrac {1+\ln (x+1)}{x}(x > 0)\)．
              \((\)Ⅰ\()\)函数\(f(x)\)在区间\((0,+∞)\)上是增函数还是减函数？证明你的结论；
              \((\)Ⅱ\()\)当\(x > 0\)时，\(f(x) > \dfrac {k}{x+1}\)恒成立，求整数\(k\)的最大值；
              \((\)Ⅲ\()\)试证明：\((1+1⋅2)⋅(1+2⋅3)⋅(1+3⋅4)⋅…⋅(1+n(n+1)) > e^{2n-3}\)．
              难度：较难
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            • 3．
              已知函数\(f(x)=\ln x- \dfrac {a}{x}\)．
              \((\)Ⅰ\()\)若\(a > 0\)，试判断\(f(x)\)在定义域内的单调性；
              \((\)Ⅱ\()\)若\(f(x)\)在\([1,e]\)上的最小值为\( \dfrac {3}{2}\)，求实数\(a\)的值；
              \((\)Ⅲ\()\)若\(f(x) < x^{2}\)在\((1,+∞)\)上恒成立，求实数\(a\)的取值范围．
              难度：较难
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            • 4．
              已知函数\(f(x)=e^{x}-ax-1(a > 0,e\)为自然对数的底数\()\)．
              \((1)\)求函数\(f(x)\)的最小值；
              \((2)\)若\(f(x)\geqslant 0\)对任意的\(x∈R\)恒成立，求实数\(a\)的值；
              \((3)\)在\((2)\)的条件下，证明：\(( \dfrac {1}{n})^{n}+( \dfrac {2}{n})^{n}+…+( \dfrac {n-1}{n})^{n}+( \dfrac {n}{n})^{n} < \dfrac {e}{e-1}({其中}n∈N*)\)．
              难度：较难
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            • 5．
              已知函数\(f(x)=-x^{3}+x^{2}+b\)，\(g(x)=a\ln x\)．
              \((1)\)若\(f(x)\)在\(x∈[- \dfrac {1}{2},1)\)上的最大值为\( \dfrac {3}{8}\)，求实数\(b\)的值；
              \((2)\)若对任意\(x∈[1,e]\)，都有\(g(x)\geqslant -x^{2}+(a+2)x\)恒成立，求实数\(a\)的取值范围；
              \((3)\)在\((1)\)的条件下，设\(F(x)= \begin{cases} \overset{f(x),x < 1}{g(x),x\geqslant 1}\end{cases}\)，对任意给定的正实数\(a\)，曲线\(y=F(x)\)上是否存在两点\(P\)、\(Q\)，使得\(\triangle POQ\)是以\(O(O\)为坐标原点\()\)为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在\(y\)轴上？请说明理由．
              难度：较难
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            • 6． 已知 \(f\)\(( \)\(x\)\()=\) \(x\ln x\)\(-\) \(ax\)， \(g\)\(( \)\(x\)\()=\) \(x\)\({\,\!}^{3}-\) \(x\)\(+6\)，若对任意的 \(x\)\(∈(0,+∞)\)，\(2\) \(f\) \(( \)\(x\)\()\leqslant \) \(g\)\(′( \)\(x\)\()+2\)恒成立，则实数 \(a\)的取值范围为
              A．\([-2,-\)\(]\)    
              B．\([-2,+∞)\)    
              C．\((-∞,-\)\(]\)    
              D．\((-∞,-2]\)
              难度：较难
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            • 7．

              设函数\(f(x)=a\ln x-bx^{2}\)，\(a\)，\(b∈R\)．

              \((\)Ⅰ\()\)若函数\(f(x)\)在\(x=1\)处与直线\(y=-\dfrac{1}{2}\)相切；

              \(①\)求实数\(a\)，\(b\)的值；\(②\)求函数\(f(x)\)在\([\dfrac{1}{e},e](e\)为自然对数的底数\()\)上的最大值；

              \((\)Ⅱ\()\)当\(b=0\)时，若不等式\(f(x)\geqslant m+x\)对所有的\(a∈[0,\dfrac{3}{2} ]\)，\(x∈(1,e^{2}](e\)为自然对数的底数\()\)都成立，求实数\(m\)的取值范围．

              难度：较难
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            • 8．

              已知函数\(f(x)\)\(=\)\(\ln x\)，\(g(x)\)\(=\)\(ax\)\(+ \dfrac{b}{x}\)，若\(f(x)\)的图像与\(x\)轴的交点也在函数\(g(x)\)的图像上，且在此点有公共切线．

              \((1)\)求\(a\)，\(b\)的值；

              \((2)\)对任意\(x\)\( > \)\(0\)，试比较\(f(x)\)与\(g(x)\)的大小．

              难度：较难
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            • 9．

              设曲线\(y\)\(=\sin \) \(x\)上任一点\((\)\(x\)，\(y\)\()\)处切线的斜率为\(g\)\((\)\(x\)\()\)，则函数\(y\)\(=\)\(x\)\({\,\!}^{2}\)\(g\)\((\)\(x\)\()\)的部分图像可以为(    )

              A．
              B．
              C．
              D．
              难度：较难
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            • 10．

              已知\(f\left(x\right)=ax- \dfrac{a}{x}-5\ln \;x,g\left(x\right)={x}^{2}-mx+4 \)

              \((1)\)若\(x\)\(=2\)是函数\(f\)\((\)\(x\)\()\)的极值点，求\(a\)的值；

              \((2)\)当\(a\)\(=2\)时，若\(∃\)\(x\)\({\,\!}_{1}∈(0,1)\)，\(∀\)\(x\)\({\,\!}_{2}∈[1,2]\)，都有\(f\)\((\)\(x\)\({\,\!}_{1})\geqslant \)\(g\)\((\)\(x\)\({\,\!}_{2})\)成立，求实数\(m\)的取值范围．

              难度：较难
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