知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1． \(8.\) 已知函数\(f(x){=}\sin^{2}{ωx}{+}\sqrt{3}\cos{ωx}\cos(\dfrac{\pi}{2}{-}{ωx})(\omega{ > }0)\)，且函数\(y{=}f(x)\)的图象相邻两条对称轴之间的距为\(\dfrac{\pi}{2}\)．
\((1)\)求\(f(\dfrac{\pi}{6})\)的值．
\((2)\)若函数\(f({kx}{+}\dfrac{\pi}{12})(k{ > }0)\)在区间\({[-}\dfrac{\pi}{6}{,}\dfrac{\pi}{3}{]}\)上单调递增，求\(k\)的取值范围．

难度：较难

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2．
在数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)中，\({{a}_{1}}=1\)，\({{a}_{n+1}}=2{{a}_{n}}+{{2}^{n}}\)，设\({{b}_{n}}=\dfrac{{{a}_{n}}}{{{2}^{n-1}}}\)．
\((1)\)证明：数列\(\left\{ {{b}_{n}} \right\}\)是等差数列；

\((2)\)求数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)的通项公式；

\((3)\)求数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)的前\(n\)项和．

难度：较难

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3．

如表定义函数\(f(x)\)：对于数列\(\{a_{n}\}\)，\(a_{1}=4\)，\(a_{n}=f(a_{n-1})\)，\(n=2\)，\(3\)，\(4\)，\(…\)，则\(a_{2014}\)的值是\((\) \()\)

A．\(1\)

B．\(2\)

C．\(3\)

D．\(4\)

难度：较难

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4．
数列\(\{ a_{n}\}\)满足\({S}_{n}=2n−{a}_{n}(n∈{N}^{∗}) \)
\((1)\)计算\({a}_{1},{a}_{2},{a}_{3},{a}_{4} \)
\((2)\)猜想\(a_{n}\)的表达式，并用数学归纳法证明你的结论．

难度：较难

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5．

“中国剩余定理”又称“孙子定理”\(.1852\)年英国来华传教伟烈亚利将\(《\)孙子算经\(》\)中“物不知数”问题的解法传至欧洲\(.1874\)年，英国数学家马西森指出此法符合\(1801\)年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”\(.\) “中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将\(2\)至\(2017\)这\(2016\)个数中能被\(3\)除余\(1\)且被\(5\)除余\(1\)的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列\(\{a_{n}\}\)，则此数列的项数为\((\) \()\)

A．\(134\)

B．\(133\)

C．\(132\)

D．\(135\)

难度：较难

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