知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．

已知等差数列\(\{a_{n}\}\)的各项全为正数，观察流程图，当\(k=2\)时，\(S=\dfrac{1}{4}\)；当\(k=5\)时，\(S=\dfrac{4}{13}\)；

\((1)\)求\(\{a\)\({\,\!}_{n}\)\(\}\)的通项公式；

\((2)\)令\(b_{n}=2^{n}a_{n}\)，求\(b_{1}+b_{2}+…+b_{n}\)．

难度：较难

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2．
在数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)中，\({{a}_{1}}=1\)，\({{a}_{n+1}}=2{{a}_{n}}+{{2}^{n}}\)，设\({{b}_{n}}=\dfrac{{{a}_{n}}}{{{2}^{n-1}}}\)．
\((1)\)证明：数列\(\left\{ {{b}_{n}} \right\}\)是等差数列；

\((2)\)求数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)的通项公式；

\((3)\)求数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)的前\(n\)项和．

难度：较难

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3．
数列\(\{ a_{n}\}\)满足\({S}_{n}=2n−{a}_{n}(n∈{N}^{∗}) \)
\((1)\)计算\({a}_{1},{a}_{2},{a}_{3},{a}_{4} \)
\((2)\)猜想\(a_{n}\)的表达式，并用数学归纳法证明你的结论．

难度：较难

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4．已知数列{a_n}满足a₁=1，（a_n-3）a_n+1-a_n+4=0（n∈N^*）．
（1）求a₂，a₃，a₄；
（2）猜想{a_n}的通项公式，并用数学归纳法证明．

难度：较难

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5．数列{x_n}满足x₁=0，x_n+1=-x_n²+x_n+c（n∈N^*）
（1）证明：{x_n}是递减数列的充分必要条件是c＜0；
（2）若数列{x_n}是递增数列，求c的取值范围．

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6．已知数列{a_n}中的相邻两项a_2k-1，a_2k是关于x的方程x²-（3k+2^k）x+3k•2^k=0的两个根，且a_2k-1≤a_2k（k=1，2，3，…）
（1）求a₁，a₃，a₅，a₇；
（2）求数列{a_n}的前2n项和S_2n；
（3）记f(n)=
1
2
(
|sinn|
sinn
+3)，Tn=
(-1)f(2)
a1a2
+
(-1)f(3)
a3a4
+
(-1)f(4)
a5a6
+…+
(-1)f(n+1)
a2n-1a2n
，求T_n的最值．

难度：较难

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