\((2)\)若\(a\)\({\,\!}_{1}\)\(=6\)，\(f(x)=2\)\({\,\!}^{x}\)且\(λa\)\({\,\!}_{n}\)\( > 2\)\({\,\!}^{n}\)\(+n+2λ\)对一切\(n∈N\)\({\,\!}^{*}\)恒成立，求实数\(λ\)的取值范围．

已知\({{S}_{n}}\)为正项数列\({ }\!\!\{\!\!{ }{{{a}}_{n}}{ }\!\!\}\!\!{ }\)的前\(n\)项和，且满足\(2{{S}_{n}}={{a}_{n}}^{2}+{{a}_{n}}\left( n\in {{N}^{*}} \right)\)．

\((1)\)求出\({{a}_{1}},{{a}_{2}},{{a}_{3}},{{a}_{4}}\)，

\((2)\)猜想\({ }\!\!\{\!\!{ }{{{a}}_{n}}{ }\!\!\}\!\!{ }\)的通项公式并给出证明．

已知正项数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)中，\({{a}_{1}}=1,{{a}_{2}}=2,2a_{n}^{2}=a_{n-1}^{2}+a_{n+1}^{2}\left( n\geqslant 2 \right),{{b}_{n}}=\dfrac{1}{{{a}_{n}}+{{a}_{n+1}}}\)，记数列\(\left\{ {{b}_{n}} \right\}\)的前\(n\)项和为\({{S}_{n}}\)，则\({{S}_{33}}\)的值是\((\)   \()\)

已知等比数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)的公比是\(q\)，首项\({{a}_{1}} < 0\)，前\(n\)项和为\({{S}_{n}}\)，设\({{a}_{1}},{{a}_{4}},{{a}_{3}}-{{a}_{1}}\)成等差数列，若\({{S}_{k}} > \dfrac{31}{16}{{a}_{1}}\)，则正整数\(k\)的最大值是\((\)  \()\)

在\(\Delta ABC\)中，\(A,B,C\)的对边分别为\(a,b,c\)且\(a{\cos }C,b{\cos }B,c{\cos }A\)成等差数列．

\((1)\)求\(B\)的值；

\((2)\)求\(2{si}{{{n}}^{2}}A+{\cos }\left( A-C \right)\)的范围．

已知正项数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(S_{n}\)，对任意\(n∈N^{*}\)，点\(\left( \left. a_{n},S_{n} \right. \right)\)都在函数\(f\left( \left. x \right. \right)= \dfrac{1}{2}x^{2}+ \dfrac{1}{2}x\)的图象上．

\((1)\)求数列\(\{a_{n}\}\)的首项\(a_{1}\)和通项公式\(a_{n}\)；

\((2)\)若数列\(\left\{ \left. b_{n} \right. \right\}\)满足\(\log _{2}b_{n}=n+\log _{2}\left( \left. 2a_{n}-1 \right. \right)\left( \left. n∈N^{*} \right. \right)\)，求数列\(\left\{ \left. b_{n} \right. \right\}\)的前\(n\)项和\(T_{n}\)；

\((3)\)已知数列\(\left\{ \left. c_{n} \right. \right\}\)满足\(c_{n}= \dfrac{4n-6}{T_{n}-6}- \dfrac{1}{a_{n}a_{n+1}}\left( \left. n∈N^{*} \right. \right).\)若对任意\(n∈N^{*}\)，存在\(x_{0}∈\left[ \left. - \dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{2} \right. \right]\)，使得\(c_{1}+c_{2}+…+c_{n}\leqslant f(x)-a\)成立，求实数\(a\)的取值范围．

平面直角坐标系\(xoy\)中，已知点\(\left(n,{a}_{n}\right) n∈{N}^{*} \)在函数\(y={a}^{x}\left(a\geqslant 2,a∈N\right) \)的图像上，点\(\left(n,{b}_{n}\right) (n∈{N}^{*} )\)在直线\(y=\left(a+1\right)x+b b∈R \)上\(.\)

\((1)\)若点\(\left(1,{a}_{1}\right) \)与点\(\left(1,{b}_{1}\right) \)重合，且\({a}_{2} < {b}_{2} \)，求数列\(\left\{{b}_{n}\right\} \)的通项公式；

\((2)\)证明：当\(a=2\)时，数列\(\left\{{a}_{n}\right\} \)中任意三项都不能构成等差数列；

已知数列\(\{ a_{n}\}\)中，\(a_{1}{=}2\)，\(a_{n}{=}2{-}\dfrac{1}{a_{n{-}1}}(n{\geqslant }2{,}n{∈}\mathrm{N}^{{*}}) .\)设\(b_{n}{=}\dfrac{1}{a_{n}{-}1}(n{∈}\mathrm{N}^{{*}})\)．

\((1)\)求证：数列\(\{ b_{n}\}\)是等差数列；

\((2)\)设数列\(\{\dfrac{1}{b_{n}b_{n{+}2}}\}\)的前\(n\)项和为\(T_{n}\)，若\(T_{n}{\leqslant }\dfrac{m}{12}(m{∈}\mathrm{N}^{\mathrm{{*}}})\)对任意\(n{∈}\mathrm{N}^{{*}}\)恒成立，求\(m\)的最小值．