知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
已知等差数列$\{{{a}_{n}}\}$的前$n$项和为${{S}_{n}}$，且满足${{S}_{4}}=24,{{S}_{7}}=63$．

$($Ⅰ$)$求数列$\{{{a}_{n}}\}$的通项公式； $($Ⅱ$)$若${{b}_{n}}={{2}^{{{a}_{n}}}}+{{a}_{n}}$，求数列$\{{{b}_{n}}\}$的前$n$项和${{T}_{n}}$．

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2．已知等差数列{a_n}的前n项和 $S_%7Bn%7D%3Dn%5E%7B2%7D-10n$ ，
（1）求此数列的通项公式；
（2）求S_n的最小值．

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3．
如图，四棱锥$P-ABCD$的底面为矩形，$PA$是四棱锥的高，$PB$与$DC$所成角为$45^{\circ}$，$F$是$PB$的中点，$E$是$BC$上的动点．

$($Ⅰ$)$证明：$PE⊥AF$；
$($Ⅱ$)$若$BC=2BE=2 \sqrt {3}AB$，求直线$AP$与平面$PDE$所成角的大小$..$

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4．
$\triangle ABC$的内角$A$、$B$、$C$所对的边分别为$a$，$b$，$c$．
$($Ⅰ$)$若$a$，$b$，$c$成等差数列，证明：$\sin A+\sin C=2\sin (A+C)$；
$($Ⅱ$)$若$a$，$b$，$c$成等比数列，且$c=2a$，求$\cos B$的值．

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5．
定义“等积数列”，在一个数列中，如果每一项与它的后一项的积都为同一个常数，那么这个数列叫做等积数列，这个常数叫做该数列的公积，已知数列$\{a_{n}\}$是等积数列且$a_{1}=2$，公积为$10$，那么这个数列前$21$项和$S_{21}$的值为 ______ ．

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6．
已知等差数列$\{a_{n}\}$的前三项为$a-1$，$4$，$2a$，记前$n$项和为$S_{n}$．
$($Ⅰ$)$设$S_{k}=2550$，求$a$和$k$的值；
$($Ⅱ$)$设$b_{n}= \dfrac {S_{n}}{n}$，求$b_{3}+b_{7}+b_{11}+…+b_{4n-1}$的值．

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7．
设各项均为正数的数列$\{a_{n}\}$的前$n$项和为$S_{n}$满足$S_{n}^{2}-(n^{2}+n-3)S_{n}-3(n^{2}+n)=0$，$n∈N^{*}$．
$(1)$求$a_{1}$的值；
$(2)$求数列$\{a_{n}\}$的通项公式；
$(3)$证明：对一切正整数$n$，有$ \dfrac {1}{a_{1}(a_{1}+1)}+ \dfrac {1}{a_{2}(a_{2}+1)}+…+ \dfrac {1}{a_{n}(a_{n}+1)} < \dfrac {1}{3}$．

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8．

数列$\{a_{n}\}$的通项公式$a_{n}=n\cos \dfrac {nπ}{2}$，其前$n$项和为$S_{n}$，则$S_{2013}$等于$($　　$)$

A．$1006$

B．$2012$

C．$503$

D．$0$

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9．函数f(x)=
3x
2x+3
，数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=f（a_n），n∈N^*，
（I）求证：数列{
1
an
}是等差数列；
（II）令b_n=a_n-1•a_n（n≥2），b₁=3，s_n=b₁+b₂+…+b_n，若Sn＜
m-2003
2
对一切n∈N^*成立，求最小正整数m．

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10．（2013秋•长乐市校级期中）将连续n²（n≥3）个正整数填入n×n方格中，使其每行．每列．每条对角线上的数的和都相等，这个正方形叫做n阶幻方数阵．记f（n）为n阶幻方数阵对角线上数的和，如图就是一个3阶幻方数阵，可知f（3）=15．若将等差数列：3，4，5，6，…的前16项填入4×4方格中，可得到一个4阶幻方数阵，则其对角线上的和f（4）等于．

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