已知各项均为正数的等差数列\(\{a_{n}\}\)满足\(a_{4}=2a_{2}\)，且\(a_{1}\)，\(4\)，\(a_{4}\)成等比数列，设\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(S_{n}\)．

\((1)\)求数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式；

\((2)\)设数列\(\left\{ \dfrac{{{S}_{n}}}{n\cdot {{2}^{n}}} \right\}\)的前\(n\)项和为\(T_{n}\)，求证：\(T_{n} < 3\)．

已知\(a_{n}= \sqrt{1×2}+ \sqrt{2×3}+ \sqrt{3×4}+…+ \sqrt{n(n+1)}(n∈N^{*})\)，求证：\( \dfrac{n(n+1)}{2} < a_{n} < \dfrac{n(n+2)}{2}\)．

在等差数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)中，\(\dfrac{{{a}_{7}}}{{{a}_{6}}} < -1\)，若它的前\(n\)项和\({{S}_{n}}\)有最大值，则当\({{S}_{n}} > 0\)时，\(n\)的最大值为\((\)  \()\)

\((1)\)以点\(M(2,0)\)、\(N(0,4)\)为直径的圆的标准方程为________．

\((2)\)在等差数列\(\{a_{n}\}\)中，\(a_{n} > 0\)，\({{a}_{7}}=\dfrac{1}{2}{{a}_{4}}+4\)，\(S_{n}\)为数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和，\(S_{19}=\)________．

\((3)\)已知点\(P(a,b)\)在函数\(y=\dfrac{{{e}^{2}}}{x}\)上，且\(a > 1\)，\(b > 1\)，则\(a^{\ln b}\)的最大值为________．

\((4)\)已知双曲线\(C_{2}\)与椭圆\(C_{1}\)：\(\dfrac{{{x}^{2}}}{4}+\dfrac{{{y}^{2}}}{3}=1\)具有相同的焦点，则两条曲线相交四个交点形成四边形面积最大时双曲线\(C_{2}\)的离心率为________．

\((1)\)数列\(\{{a}_{n}\} \)满足\({a}_{n+1}+(-1{)}^{n}{a}_{n}=2n-1 \)，则\(\{{a}_{n}\} \)的前\(12\)项和为      ．

\((2)\)如图，四边形\(ABCD\)中，\(B=C=120^{\circ}\)，\(AB=4\)，\(BC=CD=2\)，则该四边形的面积等于__________．

\((3)\)数列\(\{{a}_{n}\} \)中，\(S_{n}\)是前\(n\)项之和，若\({a}_{1}=1,{a}_{n+1}= \dfrac{1}{3}{S}_{n},n∈{N}_{*} \)，则\(a_{n}\) \(=\)___________

\((4)\)若\(AB=2\)， \(AC= \sqrt{2} BC\)，则\({S}_{∆ABC} \)的最大值              ．

\((5)\)等比数列\(\{{a}_{n}\} \)中，\({a}_{1}=2 \)，\(a_{8}\) \(=4\)，函数\(f(x)=(x-a_{1})(x-a_{2})……(x-a_{8})\)，则\(f(0)=\)_____\((\)用数字回答\()\)

\((6)\)设\(a < 0\)，若不等式\(-{\cos }^{2}x+(a-1)\cos x+{a}^{2}\geqslant 0 \)对于任意的\(x∈R\)恒成立，则\(a\)的取值范围是__________．