已知\(f(x)\)，\(g(x)\)都是定义在\(R\)上的函数，\(g(x)\neq 0\)，\(f(x)g{{'}}(x) > f{{'}}(x)g(x)\)，\(f(x)={a}^{x}·g(x)(a > 0,a\neq 0) \)，\( \dfrac{f(1)}{g(1)}+ \dfrac{f(-1)}{g(-1)}= \dfrac{5}{2} \)，在有穷数列\(\{ \dfrac{f(n)}{g(n)}\}(n=1,2⋯10) \)中，任意取正整数\(k(1\leqslant k\leqslant 10) \)，则前\(k\)项和大于\( \dfrac{15}{16} \)的概率是__________．

\((1)\)已知直线的倾斜角的范围是\(\alpha \in \left[ \dfrac{\pi }{4},\dfrac{\pi }{2} \right]\)，则此直线的斜率\(k\)的取值范围是_______．

\((2)\)若等比数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)满足\({{a}_{2}}+{{a}_{4}}=20,{{a}_{3}}+{{a}_{5}}=40\)，则前\(n\)项\({{S}_{n}}=\) ___     __．

\((3)\)如图，在四边形\(ABCD\)中，已知\(AD\)\(⊥\)\(CD\)，\(AD\)\(=10\)，\(AB\)\(=14\)，\(∠\)\(BDA\)\(=60^{\circ}\)，\(∠\)\(BCD\)\(=135^{\circ}\)，则\(BC\)的长为_______．

\((4)\)已知三棱柱\(ABC-A_{1}B_{1}C_{1}\)的\(6\)个顶点都在球\(O\)的球面上，若\(AB=3\)，\(AC=4\)，\(AB⊥AC\)，\(AA_{1}=12\)，则球\(O\)的半径为_______．

\((1)\)已知点\(P(x,y)\)的坐标满足条件\(\begin{cases}x+y\leqslant 4 \\ y\geqslant x \\ x\geqslant 1\end{cases} \)，则\(x^{2}+y^{2}\)的最大值为________。

\((2)\)已知数列\(｛a_{n}｝\)满足\(a_{1}=1\)，\(a_{n}-a_{n-1}=2^{n-1}(n\geqslant 2)\)，则\(a_{8}=\)________．

\((3)\)已知四面体\(ABCD\)的每个顶点都在球\(O\)的球面上，\(AD⊥\)底面\(ABC\)，\(AB=BC=CA=3\)，\(AD=2\)，则球\(O\)的表面积为________．

\((4)\)设\(x\)，\(y∈R\)，定义\(x⊗ y=x(a-y)(a∈R\)，且\(a\)为常数\()\)，若\(f(x)=e^{x}\)，\(g(x)=e^{-x}+2x^{2}\)，\(F(x)=f(x)⊗ g(x)\)．

\(①g(x)\)不存在极值；

\(②\)若\(f(x)\)的反函数为\(h(x)\)，且函数\(y=kx\)与函数\(y=｜h(x)｜\)有两个交点，则\(k= \dfrac{1}{e} \)；

\(③\)若\(F(x)\)在\(R\)上是减函数，则实数\(a\)的取值范围是\((-∞,-2］\)；

\(④\)若\(a=-3\)，在\(F(x)\)的曲线上存在两点，使得过这两点的切线互相垂直．

其中真命题的序号有________\((\)把所有真命题序号写上\()\)．

已知数列\(\{a_{n}\}\)中的前\(n\)项和为\({{S}_{n}}=\dfrac{{{n}^{2}}+n}{2}\)，又\(a_{n}=\log _{2}b_{n}\)．

\((1)\)求数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式；

\((2)\)求数列\(\{b_{n}\}\)的前\(n\)项和\(T_{n}\)．