\(F_{1}\)，\(F_{2}\)是双曲线\(\dfrac{{{x}^{2}}}{4}-\dfrac{{{y}^{2}}}{45}=1\)的两个焦点，\(P\)是双曲线上的点，已知\(|PF_{1}|\)，\(|PF_{2}|\)，\(|F_{1}F_{2}|\)依次成等差数列，且公差大于\(0\)，则\(∠F_{1}PF_{2}=\)______．

\((1)\)若\(x\)，\(y\)满足\(\begin{cases} & 2x-y\leqslant 0 \\ & x+y\leqslant \\ & x\geqslant 0 \\ \end{cases}\)，则\(2x+y\)的最大值为________．

\((2)\)若\(P=\dfrac{{{2017}^{2016}}+1}{{{2017}^{2017}}+1}\)，\(Q=\dfrac{{{2017}^{2017}}+1}{{{2017}^{2018}}+1}\)，则\(P\)和\(Q\)的大小关系为\(P\)________\(Q(\)用“\( > \)”、“\( < \)”或“\(=\)”填空\()\)．

\((3)\)等差数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(S_{n}\)，若\(a_{2}+a_{4}+a_{9}=24\)，则\(\dfrac{{{S}_{8}}}{8}\cdot \dfrac{{{S}_{10}}}{10}\)的最大值为________．

\((4)\)在等边三角形\(ABC\)中，\(P\)为三角形\(ABC\)内一动点，且\(∠BPC=120^{\circ}\)，则\(\dfrac{PA}{PC}\)的最小值为________．

填空题。

\((1)\)求经过点\((-2,2)\)，且与两坐标轴所围成的三角形面积为\(1\)的直线\(l\)的方程____________．

\((2)《\)算法通宗\(》\)是我国古代内容丰富的数学名书，书中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红灯向下倍加增，共灯三百八十一，请问塔顶几盏灯？”其意思为“一座塔共七层，从塔顶至塔底，每层灯的数目都是上一层的\(2\)倍，已知这座塔共有\(381\)盏灯，请问塔顶有几盏灯？”答____盏

\((3)\)已知直线\(y=kx-k+1 \)恒过定点\(A\)，若点\(A\)在直线\(mx+ny-1=0(mn > 0) \)上，则\( \dfrac{1}{m}+ \dfrac{1}{n} \)的最小值为        ．

\((4)\)在\(\Delta ABC\)中，\(a,b,c \)是角\(A,B,C \)的对边，则下列结论正确的序号是_______．

\(①\) 若\(a,b,c \)成等差数列，则\({B}=\dfrac{\pi }{3}\)；              

\(②\) 若\(c=4,b=2 \sqrt{3},B= \dfrac{π}{6} \)，则\(\Delta ABC\)有两解；

\(③\) 若\(b=1,ac=2 \sqrt{3},B= \dfrac{π}{6} \)，则\(a+c=2+\sqrt{3}\)；    

\(④\)若\((2c-b)\cos A=a\cos B\)，则\(A=\dfrac{\pi }{6}\)．

\(( 1 )\)已知向量\( \overset{→}{a}, \overset{→}{b} \)，满足\( \overset{→}{a}=(1,3) \)，\(\left( \overset{→}{a}+ \overset{→}{b}\right)⊥\left( \overset{→}{a}- \overset{→}{b}\right) \)，则\(\left| \overset{→}{b}\right| =\)______．

\(( 2 )\)已知实数\(x\)，\(y\)满足\(\begin{cases}x\leqslant 3 \\ x+y-3\geqslant 0 \\ x-y+1\geqslant 0\end{cases} \)，则\({x}^{2}+{y}^{2}- \dfrac{1}{2} \)的最小值是     ．

\(( 3 )\)若\(\left(x+3\right)(1- \dfrac{2}{ \sqrt{x}}{)}^{n} \)的展开式中常数项为\(43\)，则\(∫_{2}^{n}2xdx= \)__________．

\(( 4 )\)已知数列\(\left\{{a}_{n}\right\},\left\{{b}_{n}\right\} \)满足\({b}_{n}={\log }_{2}{a}_{n},n∈{N}^{*} \)，其中\(\left\{{b}_{n}\right\} \)是等差数列，且\({a}_{9}{a}_{2009}=4 .\)则\({b}_{1}+{b}_{2}+{b}_{3}+⋯+{b}_{2017}= \)__________．