已知数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)满足：\({{a}_{1}}=1\)，\({{a}_{n+1}}=\dfrac{{{a}_{n}}}{{{a}_{n}}+2}\) \(\left( n\in {{N}^{*}} \right).\)若\({{b}_{n+1}}=\left( n-2\lambda \right)\cdot \left( \dfrac{1}{{{a}_{n}}}+1 \right)\) \(\left( n\in {{N}^{*}} \right)\)，\({{b}_{1}}=-\lambda \)，且数列\(\left\{ {{b}_{n}} \right\}\)是单调递增数列，则实数\(\lambda \)的取值范围是____。

已知数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)满足\({{a}_{2}}=102,{{a}_{n+1}}-{{a}_{n}}=4n,\) \(\left( n\in {{N}^{*}} \right)\)，则数列\(\left\{ \dfrac{{{a}_{n}}}{n} \right\}\)的最小值是\((\)   \()\)

数列\(\{{{a}_{n}}\}\)满足\({{a}_{1}}=1,n{{a}_{n{+}1}}=(n+1){{a}_{n}}+n(n+1)\)，且\({{b}_{n}}={{a}_{n}}\cos \dfrac{2n\pi }{3}\)，记\({{S}_{n}}\)为数列\(\{{{b}_{n}}\}\)的前\(n\)项和，则\({{S}_{24}}=\)

\((1)\)计算定积分\(∫_{−1}^{2} \sqrt{4−{x}^{2}}dx= \)________．

\((2)\)设变量\(x\)，\(y\)满足不等式组\(\begin{cases} & x+y-4\leqslant 0 \\ & x-3y+3\leqslant 0 \\ & x\geqslant 1 \end{cases}\)，则\(z=\dfrac{|x-y-4|}{\sqrt{2}}\)的取值范围是________．

\((3)\)已知椭圆\(\dfrac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\dfrac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1(a > b > 0)\)的左、右焦点分别为\(F_{1}(-c,0)\)，\(F_{2}(c,0)\)，若椭圆上存在点\(P\)使\(\dfrac{a}{\sin \angle P{{F}_{1}}{{F}_{2}}}=\dfrac{c}{\sin \angle P{{F}_{2}}{{F}_{1}}}\)成立，则该椭圆的离心率的取值范围为________．

\((4)\)用\(g(n)\)表示自然数\(n\)的所有因数中最大的那个奇数，例如：\(9\)的因数有\(1\)，\(3\)，\(9\)，\(g(9)=9\)，\(10\)的因数有\(1\)，\(2\)，\(5\)，\(10\)，\(g(10)=5\)，那么\(g(1)+g(2)+g(3)+…+g(2^{2015}-1)=\)________．

已知数列\(\{a_{n}\}\)满足\(a_{1}=m\)， \(a_{n+1}=\begin{cases} 2a_{n}\mathrm{{,}}n{=}2k\mathrm{{-}}1\mathrm{{,}} \\ a_{n}{+}r\mathrm{{,}}n{=}2k \end{cases}(k∈N^{*},r∈R)\)，其前\(n\)项和为\(S_{n}.\)若对任意的\(n∈N^{*}\)，数列\(\{a_{n}\}\)都满足\(a_{n+2}=a_{n}\)，则\(m\)与\(r\)满足的关系为____\(.\) 

已知数列\(｛\)\(a_{n}\)\(｝\)的前\(n\)项和为\(S_{n}\)，且\(S_{n}\)\(=2\)\(a_{n}\)\(-2\)，\(n\)\(∈N*\)．

\((1)\)求数列\(｛\)\(a_{n}\)\(｝\)的通项公式；

\((2)\)若数列\(｛\)\(b_{n}\)\(｝\)满足\( \dfrac{1}{{a}_{n}} = \dfrac{{b}_{1}}{2+1}- \dfrac{{b}_{2}}{{2}^{2}+1}+ \dfrac{{b}_{3}}{{2}^{3}+1} -…+(-1)\)\({\,\!}^{n}\)\({\,\!}^{+1} \dfrac{{b}_{n}}{{2}^{n}+1} \)，求数列\(｛\)\(b_{n}\)\(｝\)的通项公式；

\((3)\)在\((2)\)的条件下，设\(c_{n}\)\(=2\)\({\,\!}^{n}\)\(+\)\(l\)\(b_{n}\)，问是否存在实数\(l\)，使得数列\(｛\)\(c_{n}\)\(｝\)是单调递增数列？若存在，求出\(l\)的取值范围；若不存在，请说明理由．

等比数列\(\{a_{n}\) \(\}\)的前\(n\)项和为\({{S}_{n}}\)， 已知对任意的\(n\in {{N}^{+}}\)  ，点\((n,{{S}_{n}})\)，均在函数\(y={{b}^{x}}+r(b > 0\)且\(b\ne 1,b,r\)均为常数\()\)的图像上．

\((1)\)求\(r\)的值；     

\((11)\)当\(b=2\)时，记 \({{b}_{n}}=2({{\log }_{2}}{{a}_{n}}+1)(n\in {{N}^{+}})\)   证明：对任意的\(n\in {{N}^{+}}\) ，不等式\(\dfrac{{{b}_{1}}+1}{{{b}_{1}}}{ }\!\!\cdot\!\!{ }\dfrac{{{b}_{2}}+1}{{{b}_{2}}}{ }\!\!\cdot\!\!{ }\!\!\cdot\!\!{ }\!\!\cdot\!\!{ }\!\!\cdot\!\!{ }\!\!\cdot\!\!{ }\!\!\cdot\!\!{ }\dfrac{{{b}_{n}}+1}{{{b}_{n}}} > \sqrt{n+1}\)成立