知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

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共50条信息

1．已知数列{a_n}是等差数列，a₅=5，若（6-a₁）
OB
=a₂
OA
+a₃
OC
，且A、B、C三点共线（O为该直线外一点）；点列（n，b_n）在函数f(x)=log
1
2
x的反函数的图象上．
（1）求a_n和b_n；
（2）记数列C_n=a_nb_n+b_n（n∈N^*），若{C_n}的前n项和为T_n，求使不等式
3-Tn
n+3
＜
1
64
成立的最小自然数n的值．

难度：较难

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2．设函数f（x）=x（

）^x+

x+1

，A₀为坐标原点，A为函数y=f（x）图象上横坐标为n（n∈N^*）的点，向量

k=1

Ak-1Ak

，向量

=（1，0），设θn为向量

与向量

的夹角，满足

k=1

tanθ_k＜

的最大整数n是（　　）

A．2

B．3

C．4

D．5

难度：较难

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3．已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若

=a₁

+a₁₀₀

，且A、B、C三点共线（该直线不过原点O），则S₁₀₀=（　　）

A．50

B．51

C．100

D．101

难度：较难

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4．对于数集X={-1，x₁，x₂，…，x_n}，其中0＜x₁＜x₂＜…＜x_n，n≥2，定义向量集Y={
a
|
a
=（s，t），s∈X，t∈X}，若对任意
a1
∈Y，存在
a2
∈Y，使得
a1
•
a2
=0，则称X具有性质P．例如{-1，1，2}具有性质P．
（1）若x＞2，且{-1，1，2，x}具有性质P，求x的值；
（2）若X具有性质P，求证：1∈X，且当x_n＞1时，x₁=1；
（3）若X具有性质P，且x₁=1、x₂=q（q为常数），求有穷数列x₁，x₂，…，x_n的通项公式．

难度：较难

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5．已知数列{a_n}的前n项和为Sn，
a
=(Sn，1)，
b
=(-1，2an+2n)，
a
⊥
b
．
（Ⅰ）证明数列{
an
2n-1
}为等差数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设bn=
(n-2011)an
n+1
，是否存在正整数n₀，使得对于任意的k∈N^*，都有不等式b_k≤b_n成立？若存在，求出n₀的值；若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）设T_n=|S₁|-|S₂|+…+|S_n|，求证：
T0+Sn
2
＞
2-n
1+n
an．

难度：较难

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6．已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若

=a1

+a2007

，且A、B、C三点共线（O为该直线外一点），则S₂₀₀₇=（　　）

A．2007

B．

2007

C．2²⁰⁰⁷

D．2^-2007

难度：较难

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7．已知点集L={(x，y)|y=
m
•
n
}，其中
m
=(2x-b，1)，
n
=(1，b+1)，点列P_n（a_n，b_n）在L中，P₁为L与y轴的交点，等差数列{a_n}的公差为1，n∈N₊．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）若f(n)=
an(n=2k-1)
bn(n=2k)
(k∈N+)，是否存在k∈N₊使得f（k+11）=2f（k），若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
（3）求证：
1
|P1P2|2
+
1
|P1P3|2
+…+
1
|P1Pn|2
＜
2
5
（n≥2，n∈N^*）．

难度：较难

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8．在平面直角坐标系中，已知三个点列{A_n}，{B_n}，{C_n}，其中A_n（n，a_n），B_n（n，b_n），C_n（n-1，0），满足向量
AnAn+1
与向量
BnCn
共线，且点列{B_n}在斜率为6的直线上，n=1，2，3，…．
（Ⅰ）证明数列{b_n}是等差数列；
（Ⅱ）试用a₁，b₁与n表示a_n（n≥2）；
（Ⅲ）设a₁=a，b₁=-a，在a₆与a₇两项中至少有一项是数列{a_n}的最小项，试求实数 a的取值范围．

难度：较难

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9．设F（1，0），点M在x轴上，点P在y轴上，且
MN
=2
MP
，
PM
⊥
PF
．
（1）当点P在y轴上运动时，求点N的轨迹C的方程；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），D（x₃，y₃）是曲线C上的点，且|
AF
|，|
BF
|，|
DF
|成等差数列，当AD的垂直平分线与x轴交于点E（3，0）时，求点B的坐标．

难度：较难

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10．已知点集L={(x，y)|y=
m
•
n
}，其中
m
=(2x-b，1)，
n
=(1，b+1)，点列P_n（a_n，b_n）在L中，P₁为L与y轴的交点，等差数列{a_n}的公差为1，n∈N₊．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）若cn=
5
n•|P1Pn|
(n≥2)，求
lim
n→∞
(c1+c2+…+cn)．

难度：较难

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