已知等差数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)中公差\(d\ne 0\)，有\({a}_{1}+{a}_{4}=14,且{a}_{1},{a}_{2},{a}_{7} \)成等比数列．

\((\)Ⅰ\()\)求\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)的通项公式\(a_{n}^{{}}\)与前\(n\)项和公式\({{S}_{n}}\)；

\((\)Ⅱ\()\)令\({{b}_{n}}=\dfrac{{{S}_{n}}}{n+k}\left( k\ne 0 \right)\)，若\(\left\{ {{b}_{n}} \right\}\)是等差数列，求数列\(\left\{ \dfrac{1}{{{b}_{n}}{{b}_{n+1}}} \right\}\)的前\(n\)项和为\({{T}_{n}}\)，

如果一个数列从第\(2\)项起，每一项与它前一项的差都大于\(3\)，则称这个数列为“\(S\)型数列” ．

\((1)\) 已知数列\(\{a_{n}\}\)满足\(a_{1}=4\)，\(a_{2}=8\)，\(a_{n}+a_{n-1}=8n-4(n\geqslant 2,n∈N^{*})\)，求证：数列\(\{a_{n}\}\)是“\(S\)型数列”．

\((2)\) 已知等比数列\(\{a_{n}\}\)的首项与公比\(q\)均为正整数，且\(\{a_{n}\}\)为“\(S\)型数列”，记\(b_{n}=\dfrac{3}{4}a_{n}\)，当数列\(\{b_{n}\}\)不是“\(S\)型数列”时，求数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式．

\((3)\) 是否存在一个正项数列\(\{c_{n}\}\)是“\(S\)型数列”，当\(c_{2}= 9\)，且对任意大于等于\(2\)的自然数\(n\)都满足\(\left( \dfrac{1}{n}\mathrm{{-}}\dfrac{1}{n{+}1} \right)\left( 2{+}\dfrac{1}{c_{n}} \right)\leqslant \dfrac{1}{c_{n\mathrm{{-}}1}}+\dfrac{1}{c_{n}}\leqslant \left( \dfrac{1}{n}\mathrm{{-}}\dfrac{1}{n{+}1} \right)\left( 2{+}\dfrac{1}{c_{n\mathrm{{-}}1}} \right)?\)如果存在，给出数列\(\{c_{n}\}\)的一个通项公式\((\)不必证明\();\)如果不存在，请说明理由．

已知数列\(\{{{a}_{n}}\}\)满足：\({a}_{1}+{a}_{2}+{a}_{3}+...+{a}_{n}=n-{a}_{n} (n=1,2,3...)\)

\((1)\)求证：数列\(\{a_{n}-1\}\)是等比数列；

\((2)\)令\(b_{n}=(2-n)(a_{n}-1)(n=1,2,3...)\)，如果对任意\(n∈N*\)，都有\({b}_{n}+ \dfrac{1}{4}t\leqslant {t}^{2} \)，求实数\(t\)的取值范围．

已知\(\{a_{n}\}\)是等差数列，公差\(d\)不为零，前\(n\)项和是\(S_{n}\)，若\(a_{3}\)，\(a_{4}\)，\(a_{8}\)成等比数列，则\((\)　　\()\)

已知\(\{a_{n}\}\)为等差数列，前\(n\)项和为\(S_{n}(n∈N^{*})\)，\(\{b_{n}\}\)是首项为\(2\)的等比数列，且公比大于\(0\)，\(b_{2}+b_{3}=12\)，\(b_{3}=b_{4}-2a_{1}\)，\(S_{11}=11b_{4}\)．

\((\)Ⅰ\()\)求\(\{a_{n}\}\)和\(\{b_{n}\}\)的通项公式；

\((\)Ⅱ\()\)求数列\(\{a_{2n}b_{2n-1}\}\)的前\(n\)项和\((n∈N^{*}).\)

设\(\{a_{n}\}\)是等差数列，\(\{b_{n}\}\)是各项为正数的等比数列，且\(a_{1}=1\)，\(b_{1}=2\)，\(a_{2+}b_{3\;}\) \(=11\)， \(a_{3\;+}b_{5\;}\) \(=37\)

\((1)\)求\(\{a_{n}\}\)，\(\{b_{n}\}\)的通项公式；

\((2)\)求数列\(\{ \dfrac{{a}_{n}}{{b}_{n}}\} \)的前\(n\)项和\(S_{n}\)．

若存在常数\(k(k∈{N}^{*} ,k\geqslant 2)\)、\(d\)、\(t\) \((d,t∈ R\) \()\)，使得无穷数列\(\{an\}\)满足\({a}_{n+1}=\begin{cases}{a}_{n}+d, \dfrac{n}{k}∉{N}^{*}, \\ t{a}_{n,} \dfrac{n}{k}∈{N}^{*},\end{cases} \) 则称数列\(\{an\}\)为“段差比数列”，其中常数\(k\)、\(d\)、\(t\)分别叫做段长、段差、段比\(.\)设数列\(\{bn\}\)为“段差比数列”．

\((1)\)已知\(\{bn\}\)的首项、段长、段差、段比分别为\(1\)、\(2\)、\(d\)、\(t.\)若\(\{bn\}\)是等比数列，求\(d\)、\(t\)的值；

\((2)\)已知\(\{bn\}\)的首项、段长、段差、段比分别为\(1\)、\(3\)、\(3\)、\(1\)，其前\(3n\)项和为\(S_{3n}.\)若不等式\({S}_{3n}\leqslant λ·{3}^{n-1} \)对\(n∈{N}^{*} \)恒成立，求实数\(λ \)的取值范围；

\((3)\)是否存在首项为\(b\)，段差为\(d(d\neq 0) \)的“段差比数列”\(\{b_{n}\}\)，对任意正整数\(n\)都有\(b_{n+6}=b_{n}\)，若存在，写出所有满足条件的\(\{bn\}\)的段长\(k\)和段比\(t\)组成的有序数组\((k,t)\)；若不存在，说明理由．