知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．对于数列{x_n}，若对任意n∈N^*，都有
xn+xn+2
2
＜x_n+1成立，则称数列{x_n}为“减差数列”．设数列{a_n}是各项都为正数的等比数列，其前n项和为S_n，且a₁=1，S₃=
7
4
．
（1）求数列{a_n}的通项公式，并判断数列{S_n}是否为“减差数列”；
（2）设b_n=（2-na_n）t+a_n，若数列b₃，b₄，b₅，…是“减差数列”，求实数t的取值范围．

难度：较难

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2．已知数列{a_n}与{b_n}满足a_n+1-a_n=q（b_n+1-b_n），n∈N^*
（1）若b_n=2n-3，a₁=1，q=2，求数列{an}的通项公式；
（2）若a₁=1，b₁=2，且数列{b_n}为公比不为1的等比数列，求q的值，使数列{a_n}也是等比数列；
（3）若a₁=q，b_n=qⁿ（n∈N^*），且q∈（-1，0），数列{an}有最大值M与最小值m，求
M
m
的取值范围．

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3．已知等差数列{a_n}的通项公式an=3n-1(n∈N*)．设数列{b_n}为等比数列，且bn=akn．
（Ⅰ）若b₁=a₁=2，且等比数列{b_n}的公比最小，
（ⅰ）写出数列{b_n}的前4项；
（ⅱ）求数列{k_n}的通项公式；
（Ⅱ）证明：以b₁=a₂=5为首项的无穷等比数列{b_n}有无数多个．

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4．数列{a_n}为等差数列，a₁，a₂，a₃为等比数列，a₃=1，则a₁₀=（　　）

A．5

B．-1

D．1

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5．设数列{a_n}的首项a₁为常数，且an+1=3n-2an(n∈N+)．
（1）若a1≠
3
5
，证明：{an-
3n
5
}是等比数列；
（2）若a1=
3
2
，{a_n}中是否存在连续三项成等差数列？若存在，写出这三项，若不存在说明理由．
（3）若{a_n}是递增数列，求a₁的取值范围．

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6．（2015春•溧阳市期末）如图表：现有n²（n≥4）个正数排列成n行n列方阵，符号a_ij（1≤i≤n，1≤j≤n，i，j∈N^*）表示位于第i行第j列的正数．已知每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，且各列数的公比都相等．若a₁₁=2，a₂₄=a₃₂=16，则a_ij= ．

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7．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=2n²+n，n∈N^*．
（1）求a_n．
（2）如果数列{b_n}满足b_n=2^n-1（n∈N^*），求数列{a_n•b_n}的前n项和T_n．

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8．定义：从一个数列{a_n}中抽取若干项（不少于三项）按其在{a_n}中的次序排列的一列数叫做{a_n}的子数列，成等差（比）的子数列叫做{a_n}的等差（比）子列．
（1）求数列1，
1
2
，
1
3
，
1
4
，
1
5
的等比子列；
（2）设数列{a_n}是各项均为实数的等比数列，且公比q≠1．
（i）试给出一个{a_n}，使其存在无穷项的等差子列（不必写出过程）；
（ii）若{a_n}存在无穷项的等差子列，求q的所有可能值．

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9．设各项为正的等比数列{a_n}的公比q≠1，且a₃，a₅，a₆成等差数列，则

a3+a5

a4+a6

的值为（　　）

A．

B．

-1

C．

D．2

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10．设二次函数f（x）=（k-4）x²+kx，（k∈R），对任意实数x，有f（x）≤6x+2恒成立；数列{a_n}满足a_n+1=f（a_n）．
（1）求函数f（x）的解析式和值域；
（2）已知a₁=
1
3
，是否存在非零整数λ，使得对任意n∈N^*，都有log3(
1
1
2
-a1
)+log3(
1
1
2
-a2
)+…+log3(
1
1
2
-an
)＞(-1)n-12λ+nlog3²-1-1+（-1）^n-12λ+nlog₃2恒成立，若存在，求之；若不存在，说明理由．

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