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          共50条信息

            • 1．

              已知数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和\(S_{n}=3^{n}(λ-n)-6\)，若数列\(\{a_{n}\}\)为递减数列，则\(λ\)的取值范围是________．

              难度：较难
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            • 2．

              设数列\(\{a_{n}\}(n=1,2,3…)\)的前\(n\)项和\(S_{n}\)满足\(S_{n}=2a_{n}-a_{1}\)，且\(a_{1}\)，\(a_{2}+1\)，\(a_{3}\)成等差数列，数列\(\{b_{n}\}\)满足\(a_{1}\)，\(a_{2}\)，\(a_{3}…{{a}_{n}}={{(\sqrt{2})}^{bn}}(n\in {{N}^{*}})\)．

              \((1)\)求\(a_{n}\)与\(b_{n}\)；

              \((2)\)设\({{c}_{n}}=\dfrac{1}{{{a}_{n}}}-\dfrac{1}{{{b}_{n}}}(n\in {{N}^{*}})\)，记数列\(\{c_{n})\)的前\(n\)项和为\(T_{n}.\)求证：对任意\(n∈N^{*}\)，均有\(T_{n} > 0\)．

              \((3)\)设\({{d}_{n}}={{b}_{n}}-n(n\in {{N}^{*}})\)，\(f(n)=\dfrac{1}{\sqrt{n+{{d}_{1}}}}+\dfrac{1}{\sqrt{n+{{d}_{2}}}}+\cdots +\dfrac{1}{\sqrt{n+{{d}_{n}}}}(n\in {{N}^{*}},n\geqslant 2)\)，求\(f(n)\)的最小值．

              难度：较难
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            • 3．

              已知无穷数列\(\left\{{a}_{n}\right\} \)，\({a}_{1}=1,{a}_{2}=2 \)，对任意\(n∈{N}^{*} \)，有\({a}_{n+2}={a}_{n} \)，数列\(\left\{{b}_{n}\right\} \)满足\({b}_{n+1}-{b}_{n}={a}_{n} (n∈{N}^{*} )\)，若数列\(\left\{ \dfrac{{b}_{2n}}{n}\right\} \)中的任意一项都在该数列中重复出现无数次，则满足要求的\({b}_{1} \)的值为_______________．

              难度：较难
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            • 4．

              已知无穷数列\(\left\{{a}_{n}\right\} \)，\({a}_{1}=1 \)，\({a}_{2}=2 \)，对任意\(n∈{N}^{*} \)，有\({a}_{n+2}={a}_{n} \)，数列\(\left\{{b}_{n}\right\} \)满足\({b}_{n+1}-{b}_{n}={a}_{n} (n∈{N}^{*} )\)，若数列\(\left\{ \dfrac{{b}_{2n}}{{a}_{n}}\right\} \)中的任意一项都在该数列中重复出现无数次，则满足要求的\({b}_{1} \)的值为       

              难度：较难
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            • 5． 已知数列{an}的前n项和Sn=2an-2n+1，若不等式2n2-n-3＜（5-λ）an对∀n∈N+恒成立，则整数λ的最大值为    ．
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            • 6． 已知an=
              n(n+1)
              2
              ，删除数列{an}中所有能被2整除的数，剩下的数从小到大排成数列{bn}，则b51=    ．
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            • 7． 正整数数列\(\{a_{n}\}\)满足：\(a_{1}=1\)，\(a_{n+1}= \begin{cases} a_{n}-n,a_{n} > n \\ a_{n}+n,a_{n}\leqslant n.\end{cases}\)
              \((\)Ⅰ\()\)写出数列\(\{a_{n}\}\)的前\(5\)项；
              \((\)Ⅱ\()\)将数列\(\{a_{n}\}\)中所有值为\(1\)的项的项数按从小到大的顺序依次排列，得到数列\(\{n_{k}\}\)，试用\(n_{k}\)表示\(n_{k+1}(\)不必证明\()\)；
              \((\)Ⅲ\()\)求最小的正整数\(n\)，使\(a_{n}=2013\)．
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            • 8． 已知函数f(x)=1+
              2
              x
              ，数列{xn}满足x1=
              11
              7
              ，xn+1=f（xn）；若bn=
              1
              xn-2
              +
              1
              3
              ．
              （1）求证数列{bn}是等比数列，并求其通项公式；
              （2）若cn=3n-λbn（λ为非零整数，n∈N*），试确定λ的值，使得对任意n∈N*，都有cn+1＞cn成立．
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            • 9． 迄今为止，人类已借助“网络计算”技术找到了630万位的最大质数，小胡发现由8个质数组成的数列41，43，47，53，61，71，83，97的一个通项公式，并根据通项公式得出数列的后几项，发现它们也是质数．小胡欣喜万分，但小胡按得出的通项公式，在往后写出几个数发现它不是质数．他写出不是质数的一个数是（　　）
              A．1643
              B．1679
              C．1681
              D．1697
              难度：较难
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            • 10． 只能被1和它本身整除的自然数（不包括1）叫做质数，41，43，47，53，61，71，83，97是一个由8个质数组成的数列，小王同学正确地写出了它的一个通项公式，并根据通项公式得出数列的后几项，发现它们也是质数．试写出一个数P满足小王得出的通项公式，但它不是质数．P=    ．
              难度：较难
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