\((1)\)计算\(\int_{{-}1}^{0}{\left( x{+}1 \right){dx}}{=}\)_________________．

\((2)\)已知函数\(f\left( x \right){=}2\sin{\left( \omega x{+}\dfrac{\pi}{3} \right)\ \left( \omega{ > }0 \right){,}A{,}B}\)是函数\(y{=}f(x)\)图象上相邻的最高点和最低点，若\(\left| {AB} \right|{=}2\sqrt{5}\)，则\(f\left( 1 \right){=}\)_______________．

\((3)\)已知双曲线\(\dfrac{x^{2}}{a^{2}}{-}\dfrac{y^{2}}{b^{2}}{=}1(a{ > }0{,}b{ > }0)\)的一条渐近线方程是\(y{=}2x\)，它的一个焦点与抛物线\(y^{2}{=}20x\)的焦点相同，则双曲线的方程是_____________________．

\((4)\)如图，在平面四边形\({\ ABCD\ }\)中，\(AB{⊥}BC\)，\(AD{⊥}CD\)，\(\ {∠}BAD\ {=}\ 120{^{\circ}}\)，\(\ AB\ {=}\ AD\ {=}\ 2.\)若点\(E\)为边\({CD}\)上的动点，则\(\overrightarrow{{AE}}{⋅}\overrightarrow{{BE}}\)的最小值为________________．

\((1)\)已知向量\(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\)的夹角为\(60^{\circ}\)，\(\left| \overrightarrow{a} \right|=2,\left| \overrightarrow{b} \right|=1\)，则\(\left| \overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b} \right|=\)_____．

\((2)\)已知双曲线\(C\)：\(\dfrac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}-\dfrac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1(a > 0,b > 0)\)的右顶点为\(A\)，以\(A\)为圆心，\(b\)为半径作圆\(A\)，圆\(A\)与双曲线\(C\)的一条渐近线交于\(M\)，\(N\)两点\(.\)若\(∠MAN=60^{\circ}\)，则\(C\)的离心率为_____．

\((3)\)在\(\triangle ABC\)中，\(AB\)边上的中线\(CO=4\)，若动点\(P\)满足\(\overrightarrow{PA}={{\sin }^{2}}\dfrac{\theta }{2}\overrightarrow{OA}+{{\cos }^{2}}\dfrac{\theta }{2}\overrightarrow{CA}(\theta \in R)\)，则\((\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB})\cdot \overrightarrow{PC}\)的最小值是    ．

\((4)\)如图，圆形纸片的圆心为\(O\)，半径为\(5 cm\)，该纸片上的等边三角形\(ABC\)的中心为\(O\)．\(D\)，\(E\)，\(F\)为圆\(O\)上的点，\(\triangle DBC\)，\(\triangle ECA\)，\(\triangle FAB\)分别是以\(BC\)，\(CA\)，\(AB\)为底边的等腰三角形\(.\)沿虚线剪开后，分别以\(BC\)，\(CA\)，\(AB\)为折痕折起\(\triangle DBC\)，\(\triangle ECA\)，\(\triangle FAB\)，使得\(D\)，\(E\)，\(F\)重合，得到三棱锥\(.\)当\(\triangle ABC\)的边长变化时，所得三棱锥体积\((\)单位：\(cm\)\({\,\!}^{3}\)\()\)的最大值为_____．

如图，在等腰三角形\(ABC\)中，已知\(AB=AC=1\)，\(∠A=120^{\circ}\)，\(E\)，\(F\)分别是边\(AB\)，\(AC\)上的点，且\(\overrightarrow{AE}=m\overrightarrow{AB}\)，\(\overrightarrow{AF}=n\overrightarrow{AC}\)，其中\(m\)，\(n∈(0,1)\)，若\(EF\)，\(BC\)的中点分别为\(M\)，\(N\)且\(m+2n=1\)，则\(|\overrightarrow{MN}|\)的最小值是________．

已知\(\triangle ABC\)内一点\(P\)满足\(\overrightarrow{AP}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{8}\overrightarrow{AC}\)，过点\(P\)的直线分别交边\(AB\)、\(AC\)于\(M\)、\(N\)两点\(.\)若\(\overrightarrow{AM}=\lambda \overrightarrow{AB}\)，\(\overrightarrow{AN}=\mu \overrightarrow{AC}\)，则\(λ+μ\)的最小值为________．