称\(d(a,b)=|a-b|\)为两个向量\(a\)，\(b\)间的“距离”\(.\)若向量\(a\)，\(b\)满足：\(①|b|=1\)；\(②a\neq b\)；\(③\)对任意的\(t∈R\)，恒有\(d(a,tb)\geqslant d(a,b)\)，则(    )

若\(P\)为\({\triangle }ABC\)所在平面内任一点，且满足\((\overrightarrow{{PB}}{-}\overrightarrow{{PC}}){⋅}(\overrightarrow{{PB}}{+}\overrightarrow{{PC}}{-}2\overrightarrow{{PA}}){=}0\)，则\({\triangle }ABC\)的形状为\(({ }\ { })\)

\((1)\)计算\(\int_{{-}1}^{0}{\left( x{+}1 \right){dx}}{=}\)_________________．

\((2)\)已知函数\(f\left( x \right){=}2\sin{\left( \omega x{+}\dfrac{\pi}{3} \right)\ \left( \omega{ > }0 \right){,}A{,}B}\)是函数\(y{=}f(x)\)图象上相邻的最高点和最低点，若\(\left| {AB} \right|{=}2\sqrt{5}\)，则\(f\left( 1 \right){=}\)_______________．

\((3)\)已知双曲线\(\dfrac{x^{2}}{a^{2}}{-}\dfrac{y^{2}}{b^{2}}{=}1(a{ > }0{,}b{ > }0)\)的一条渐近线方程是\(y{=}2x\)，它的一个焦点与抛物线\(y^{2}{=}20x\)的焦点相同，则双曲线的方程是_____________________．

\((4)\)如图，在平面四边形\({\ ABCD\ }\)中，\(AB{⊥}BC\)，\(AD{⊥}CD\)，\(\ {∠}BAD\ {=}\ 120{^{\circ}}\)，\(\ AB\ {=}\ AD\ {=}\ 2.\)若点\(E\)为边\({CD}\)上的动点，则\(\overrightarrow{{AE}}{⋅}\overrightarrow{{BE}}\)的最小值为________________．

\((1)\)已知向量\(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\)的夹角为\(60^{\circ}\)，\(\left| \overrightarrow{a} \right|=2,\left| \overrightarrow{b} \right|=1\)，则\(\left| \overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b} \right|=\)_____．

\((2)\)已知双曲线\(C\)：\(\dfrac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}-\dfrac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1(a > 0,b > 0)\)的右顶点为\(A\)，以\(A\)为圆心，\(b\)为半径作圆\(A\)，圆\(A\)与双曲线\(C\)的一条渐近线交于\(M\)，\(N\)两点\(.\)若\(∠MAN=60^{\circ}\)，则\(C\)的离心率为_____．

\((3)\)在\(\triangle ABC\)中，\(AB\)边上的中线\(CO=4\)，若动点\(P\)满足\(\overrightarrow{PA}={{\sin }^{2}}\dfrac{\theta }{2}\overrightarrow{OA}+{{\cos }^{2}}\dfrac{\theta }{2}\overrightarrow{CA}(\theta \in R)\)，则\((\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB})\cdot \overrightarrow{PC}\)的最小值是    ．

\((4)\)如图，圆形纸片的圆心为\(O\)，半径为\(5 cm\)，该纸片上的等边三角形\(ABC\)的中心为\(O\)．\(D\)，\(E\)，\(F\)为圆\(O\)上的点，\(\triangle DBC\)，\(\triangle ECA\)，\(\triangle FAB\)分别是以\(BC\)，\(CA\)，\(AB\)为底边的等腰三角形\(.\)沿虚线剪开后，分别以\(BC\)，\(CA\)，\(AB\)为折痕折起\(\triangle DBC\)，\(\triangle ECA\)，\(\triangle FAB\)，使得\(D\)，\(E\)，\(F\)重合，得到三棱锥\(.\)当\(\triangle ABC\)的边长变化时，所得三棱锥体积\((\)单位：\(cm\)\({\,\!}^{3}\)\()\)的最大值为_____．