已知向量\( \overrightarrow{m}=\left(2,\sin α\right) \)，\( \overrightarrow{n}=\left(\cos α\right),-1 \)，其中\(α∈\left(0, \dfrac{π}{2}\right) \)，且\( \overrightarrow{m}⊥ \overrightarrow{n} \)．

\((1)\)求\(\sin 2α \)和\(\cos 2α \)的值；

\((2)\)若\(\sin \left(α-β\right)= \dfrac{ \sqrt{10}}{10} \)，且\(β∈\left(0, \dfrac{π}{2}\right) \)，求角\(β \)．

已知两个不共线的向量\(\overrightarrow{a}\) ，\(\overrightarrow{b}\) 的夹角为\(θ\)，且\(|\overrightarrow{a}|=3\) ，\(|\overrightarrow{b}|=1\) ，\(x\)为正实数．

\((1)\)若\(\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}\) 与\(\overrightarrow{a}-4\overrightarrow{b}\) 垂直，求\(\tan θ\)；

\((2)\)若\(\theta =\dfrac{\pi }{6}\) ，求\(|x\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|\) 的最小值及对应的\(x\)的值，并指出向量\(\overrightarrow{a}\) 与\(x\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\) 的位置关系；

\((3)\)若\(θ\)为锐角，对于正实数\(m\)，关于\(x\)的方程\(|x\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|=|m\overrightarrow{a}|\) 有两个不同的正实数解，且\(x\neq m\)，求\(m\)的取值范围．

已知向量\( \overset{→}{a}=(2,1), \overset{→}{b}=(-3,2) \)，若\(( \overset{→}{a}+ \overset{→}{b})⊥(2 \overset{→}{a}-λ \overset{→}{b}) \)，则\(λ =\) ______．

已知向量\(\overrightarrow{m}=(\cos \alpha ,-1)\)，\(\overrightarrow{n}=(2,\sin \alpha )\)，其中\(\alpha \in \left( 0,\dfrac{\pi }{2} \right)\)，且\(\overrightarrow{m}\bot \overrightarrow{n}\)．

\((1)\)求\(\cos 2\alpha \)的值；

\((2)\)若\(\sin (\alpha -\beta )=\dfrac{\sqrt{10}}{10}\)，且\(\beta \in \left( 0,\dfrac{\pi }{2} \right)\)，求角\(\beta \)．

已知向量\( \overset{→}{a} =(\)\(\sin x\)，\(\cos x\)\()\)，\( \overset{→}{b} =(\)\(\sin x\)\(+\)\(\cos x\)，\(\sin x\)\(-\)\(\cos x\)\()(\)\(x\)\(∈R)\)，若\( \overset{→}{a} ⊥ \overset{→}{b} \)，则\(x\)的取值集合为(    )

\((1) \overset{⇀}{a} =(\)\(x\)\(-1\)，\(y\)\()\)，\( \overset{⇀}{b} =(1,2)\)，且\(\overrightarrow{a}\bot \overrightarrow{b}\)，则当\(x > 0,y > 0\)时，\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\)的最小值为 ______．

\((2)\)向量\(\overrightarrow{a}=\left( 2,3 \right)\)在\(\overrightarrow{b}=\left( -4,7 \right)\)上的投影是 ______．

\((3)\)若等比数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)满足\({{a}_{1}}+{{a}_{3}}=20\)，\({{a}_{2}}+{{a}_{4}}=40\)，则公比\(q=\) ______\(..\)

\((4)\)已知\(m,n,p\)表示不重合的三条直线，表示不重合的三个平面\(.\)给出以下四个命题

其中正确命题的序号是          \((\)把所有正确命题的序号都写上\()\) 

已知在\(\triangle ABC\)中，\(\left| \overrightarrow{BC} \right|=\left| \overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CB} \right|\)，\(\overrightarrow{AB}=(1,2)\)，若边\(AB\)的中点\(D\)的坐标为\((3,1)\)，点\(C\)的坐标为\((t,2)\)，则\(t=\)________．
已知\({{(x-\dfrac{1}{2x})}^{n}}(n∈N*)\)的展开式中所有项的二项式系数之和、系数之和分别为\(p\)，\(q\)，则\(p+64q\)的最小值为________．
已知\(x\)，\(y\)满足\(\begin{cases} & 3x+y\leqslant t, \\ & x\geqslant \dfrac{\mathrm{ }\!\!\pi\!\!{ }}{6}, \\ & y\geqslant 0, \end{cases}\)，其中\(t > \dfrac{\mathrm{ }\!\!\pi\!\!{ }}{2}\)，若\(\sin (x+y)\)的最大值与最小值分别为\(1\)，\(\dfrac{1}{2}\)，则实数\(t\)的取值范围为________．
已知函数\(f(x)=\begin{cases} & \mathrm{In}(x+1),x\geqslant 0 \\ & -x{{e}^{x}},x < 0 \end{cases}\)，方程\(f^{2}(x)+mf(x)=0(m∈R)\)有四个不相等的实数根，则实数\(m\)的取值范围是________．