知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．定义向量
OM
=(a，b)的“相伴函数”为f（x）=asinx+bcosx；函数f（x）=asinx+bcosx的“相伴向量”为
OM
=(a，b)（其中O为坐标原点）．
（1）若g(x)=3sin(x+
3π
2
)+4sinx，求g（x）的“相伴向量”；
（2）已知M（a，b）（b≠0）为圆C：（x-2）²+y²=1上一点，向量
OM
的“相伴函数”f（x）在x=x₀处取得最大值，当点M在圆C上运动时，求tan2x₀的取值范围．

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2．如图，在平面直角坐标系xoy中，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A，B两点．
（1）若点A的纵坐标是
4
5
，点B的纵坐标是
12
13
，求sin（α+β）的值；
（2）若|
AB
|=
3
2
，求|
OA
+2
OB
|的值．

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3．设向量
a
=(λ+2，λ2-
3
cos2α)，向量
a
=(m，
m
2
+sinαcosα)，其中λ，m，α为实数．若向量
a
=2
b
，则
λ
m
的取值范围为．

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4．若对于n个向量
a1
，
a2
，…，
an
，若存在n个不全为零的实数k₁，k₂，…，k_n，使得k1
a1
+k2
a2
+…+kn
an
=
0
，则称
a1
，
a2
，…，
an
为“线性相关”，k₁，k₂，…，k_n分别为
a1
，
a2
，…，
an
的“相关系数”．依此规定，若
a1
=(1，0)，
a2
=(1，-1)，
a3
=(2，2)线性相关，
a1
，
a2
，
a3
的相关系数分别为k₁，k₂，k₃，则k₁：k₂：k₃= ．

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5．出于应用方便和数学交流的需要，我们教材定义向量的坐标如下：取
e1
和
e2
为直角坐标第xOy中与x轴和y轴正方向相同的单位向量，根据平面向量基本定理，对于该平面上的任意一个向量
a
，则存在唯一的一对实数λ，μ，使得
a
=λ
e1
+μ
e2
，我们就把实数对（λ，μ）称作向量
a
的坐标．并依据这样的定义研究了向量加法、减法、数乘向量及数量积的坐标运算公式．现在我们用
i
和
j
表示斜坐标系x‘Oy’中与x‘轴和y轴正方向相同的单位向量，其中＜
i
，
j
＞=
π
3
，
（1）请你模仿直角坐标系xOy中向量坐标的定义方式，用向量
i
和
j
做基底向量定义斜坐标系x‘Oy’平面上的任意一个向量
a
的坐标；
（2）在（1）的基础上研究斜坐标系x‘Oy’中向量的加法、减法、数乘向量及数量积的坐标运算公式．

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