知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足（c-
2
a）
BA
•
BC
=c
AC
•
CB
．
（1）求角B的大小；
（2）若|
BA
-
BC
|=
3
，求△ABC面积的最大值．

难度：较难

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2．已知圆M过E（1，-1），F（-1，1）两点，且圆心在x+y-2=0上，
（1）求圆M的方程；
（2）若过点（-2，2）的直线被圆M所截得得弦长为2
3
，求该直线的方程；
（3）若P为直线3x+4y+8=0上的动点，过P做圆M的切线，切点为A，B，求当
|PA|
的最小值，并求此时
PA
•
PB
的值．

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3．定义向量
OM
=(a，b)的“相伴函数”为f（x）=asinx+bcosx；函数f（x）=asinx+bcosx的“相伴向量”为
OM
=(a，b)（其中O为坐标原点）．
（1）若g(x)=3sin(x+
3π
2
)+4sinx，求g（x）的“相伴向量”；
（2）已知M（a，b）（b≠0）为圆C：（x-2）²+y²=1上一点，向量
OM
的“相伴函数”f（x）在x=x₀处取得最大值，当点M在圆C上运动时，求tan2x₀的取值范围．

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4．如图，已知
OP
=（2，1），
OA
=（1，7），
OB
=（5，1），设Z是直线OP上的一动点．
（1）求使
ZA
•
ZB
取最小值时的
OZ
；
（2）对（1）中求出的点Z，求cos∠AZB的值．

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5．如图，在平面直角坐标系xoy中，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A，B两点．
（1）若点A的纵坐标是
4
5
，点B的纵坐标是
12
13
，求sin（α+β）的值；
（2）若|
AB
|=
3
2
，求|
OA
+2
OB
|的值．

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6．设向量
a
=(λ+2，λ2-
3
cos2α)，向量
a
=(m，
m
2
+sinαcosα)，其中λ，m，α为实数．若向量
a
=2
b
，则
λ
m
的取值范围为．

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7．对于一组向量
a1
，
a2
，
a3
，…，
an
（n∈N^*），令
Sn
=
a1
+
a2
+
a3
+…+
an
，如果存在
ap
（p∈{1，2，3…，n}），使得|
ap
|≥|
Sn
-
ap
|，那么称
ap
是该向量组的“h向量”．
（1）设
an
=（n，x+n）（n∈N^*），若
a3
是向量组
a1
，
a2
，
a3
的“h向量”，
求实数x的取值范围；
（2）若
an
=((
1
3
)n-1，0)（n∈N^*），向量组
a1
，
a2
，
a3
，…，
an
是否存在“h向量”？
给出你的结论并说明理由；
（3）已知
a1
、
a2
、
a3
均是向量组
a1
，
a2
，
a3
的“h向量”，其中
a1
=(
ex
2
，0)，
a2
=(
e-x
2
，0)，求证：
|
a1
|²+|
a2
|²+|
a3
|²可以写成一个关于e^x的二次多项式与一个关于e^-x的二次多项式的乘积．

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8．已知向量
a
=（cos
3x
2
．-sin
3x
2
），
b
=（cos
x
2
，sin
x
2
）
（1）设函数f（x）=
a
•
b
，求f（x）的单调递增区间；
（2）设函数g（x）=
a
•
b
-2λ|
a
+
b
|，若g（x）的最小值是-
3
2
，求实数λ的值．

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9．（2013•天津模拟）如图，在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AD=DC=1，AB=3，动点P在以点C为圆心，且与直线BD相切的圆内运动，设
AP
=α
AD
+β
AB
（α，β∈R），则α+β的取值范围是．

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10．已知圆O：x²+y²=4．
（1）直线l₁：
3
x+y-2
3
=0与圆O相交于A、B两点，求|AB|；
（2）如图，设M（x₁，y₁），P（x₂，y₂）是圆O上的两个动点，点M关于原点的对称点为M，点M关于x轴的对称点为M₂，如果直线=PM₁、PM₂与y轴分别交于（0，m）和（0，n），问m•n是否为定值？若是求出该定值；若不是，请说明理由．

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