\((1)\)已知\(|z|=1\)，则\(|z-1+\sqrt{3}i|\)的取值范围是________．

\((3)\)定积分\(\int_{0}^{1}{(2+\sqrt{1-{{x}^{2}}})dx=}\)________．

\((4)\)直线\(l\)交椭圆\(\dfrac{{{x}^{2}}}{2}+{{y}^{2}}=1\)于\(A\)，\(B\)两点，若线段\(AB\)的中点坐标为\((1,\dfrac{1}{2})\)，则直线\(l\)的方程为________．

观察下列各不等式：

\(1+ \dfrac{1}{{2}^{2}} < \dfrac{3}{2} \)

\(1+ \dfrac{1}{{2}^{2}}+ \dfrac{1}{{3}^{2}} < \dfrac{5}{3} \)

\(1+ \dfrac{1}{{2}^{2}}+ \dfrac{1}{{3}^{2}}+ \dfrac{1}{{4}^{2}} < \dfrac{7}{4} \)

\(1+ \dfrac{1}{{2}^{2}}+ \dfrac{1}{{3}^{2}}+ \dfrac{1}{{4}^{2}}+ \dfrac{1}{{5}^{2}} < \dfrac{9}{5} \)

\(…\)

\((1)\)由上述不等式，归纳出一个与正整数\(n\left(n\geqslant 2\right) \)有关的一般性结论；

\((2)\)用数学归纳法证明你得到的结论．

\((1)\)如果对于任意的正实数\(x\)，不等式\(x+\dfrac{a}{x}\geqslant 4\)恒成立，则\(a\)的取值范围是          ．

\((2)\)在我国南宋数学家杨辉所著的\(《\)详解九章算术\(》(1261\)年\()\)一书中，用如图\((1)\)的三角形，解释二项和的乘方规律\(.\) 在欧洲直到\(1623\)年以后，法国数学家布莱士\(·\)帕斯卡的著作\((1655\)年\()\)介绍了这个三角形\(.\) 近年来国外也逐渐承认这项成果属于中国，所以有些书上称这是“中国三角形”\(( Chinese triangle)\)如图\((1)\)，\(17\)世纪德国数学家莱布尼茨发现了 “莱布尼茨三角形”如图\((2).\) 在杨辉三角中相邻两行满足关系式：\(C_{n}^{r}+C_{n}^{r+1}=C_{n+1}^{r+1}\)，其中\(n\)是行数，\(r\in N.\) 请类比上式，在莱布尼兹三角中相邻两行满足的关系式是_____________．

\((3)\)一个小球放入一长方体容器内，且与共点的三个面相接触\(.\)若小球球面上有一点到这三个面的距离分别为\(4,5,5\)，则这个小球的半径是 __________\(.\)  

\((4)\)优美的“双勾函数”\(f(x)=ax+\dfrac{b}{x},(a,b > 0)\)对应的图象其实质是双曲线，现给出函数\(f(x)=\dfrac{\sqrt{3}}{3}x+\dfrac{1}{x}\)。则

\(①\)此双曲线的离心率为________．

\(②\)此双曲线的实轴长为________．

设\(f(x)=e^{x}(x+2x)\)，令\(f_{1}(x)=f{{"}}(x)\)，\(f_{n+1}(x)=f_{n}{{"}}(x)\)，若\(f_{n}(x)=e^{x}(A_{n}x^{2}+B_{n}x+C_{n})\)，则数列\(\left\{ \dfrac{1}{{{C}_{n}}} \right\}\)前\(n\)项和为\(S_{n}\)，当\(|{{S}_{n}}-1|\leqslant \dfrac{1}{2018}\)时，\(n\)的最小整数值为\((\)    \()\)

古希腊亚历山大学派的数学家帕普斯\((Pappus\)， 约\(300-\)约\(350)\)在\(《\)数学汇编\(》\)第\(3\)卷中记载着一个定理：“如果同一平面内的一个闭合图形的内部与一条直线不相交，那么该闭合图形围绕这条直线旋转一周所得到的旋转体的体积等于闭合图形面积乘以重心旋转所得周长的积”。如图，半圆\(O\)的直径\(AB=6cm\)，点\(D\)是该半圆弧的中点，那么运用帕普斯的上述定理可以求得，半圆弧与直径所围成的半圆面\((\)阴影部分包含边界\()\)的重心\(G\)位于对称轴\(OD\)上，且满足\(OG= \)(    )

是否存在常数\(a\)，\(b\)，\(c\)使得\(1×{2}^{2}+2×{3}^{2}+⋯+n(n+1{)}^{2}= \dfrac{n(n+1)(a{n}^{2}+bn+c)}{12} \)对一切\(n∈{N}^{*} \)均成立，并证明你的结论．