知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．设集合M={1，2，3，…，n}（n≥3），记M的含有三个元素的子集个数为S_n，同时将每一个子集中的三个元素由小到大排列，取出中间的数，所有这些中间的数的和记为T_n．
（1）求
T3
S3
，
T4
S4
，
T5
S5
，
T6
S6
的值；
（2）猜想
Tn
Sn
的表达式，并证明之．

难度：较难

解析收藏试题篮
2．已知a＞0，b＞0，且a+b=1，求证：
2a+1
+
2b+1
≤2
2
．

难度：较难

解析收藏试题篮
3．设x＞0，y＞0，且x+y=1，求证（1+
1
x
）（1+
1
y
）≥9．

难度：较难

解析收藏试题篮
4．在△ABC（如图1），若CE是∠ACB的平分线，则
AC
BC
=
AE
BE
．其证明过程如下：
作EG⊥AC于点G，EH⊥BC于点H，CF⊥AB于点F，
∵CE是∠ACB的平分线，
∴EG=EH．
又∵
AC
BC
=
AC•EG
BC•EH
=
S△AEC
S△BEC
，
AE
BE
=
AE•CF
BE•CF
=
S△AEC
S△BEC
，
∴
AC
BC
=
AE
BE

（1）把上面结论推广到空间中：在四面体A-BCD中（如图2），平面CDE是二面角A-CD-B的角平分面，类比三角形中的结论，你得到的相应空间的结论是
（2）证明你所得到的结论．

难度：较难

解析收藏试题篮
5．已知数列A_n：a₁，a₂，…，a_n．如果数列B_n：b₁，b₂，…，b_n满足b₁=a_n，b_k=a_k-1+a_k-b_k-1，其中k=2，3，…，n，则称B_n为A_n的“衍生数列”．
（Ⅰ）写出数列A₄：2，1，4，5的“衍生数列”B₄；
（Ⅱ）若n为偶数，且A_n的“衍生数列”是B_n，证明：b_n=a₁；
（Ⅲ）若n为奇数，且A_n的“衍生数列”是B_n，B_n的“衍生数列”是C_n，…．依次将数列A_n，B_n，C_n，…的首项取出，构成数列Ω：a₁，b₁，c₁，…．证明：Ω是等差数列．

难度：较难

解析收藏试题篮
6．已知a_n=4n+5，b_n=3ⁿ，求证：对任意正整数n，都存在正整数p，使得a_p=b_n²成立．

难度：较难

解析收藏试题篮
7．已知m＞0，a，b∈R，求证：(
a+mb
1+m
)2≤
a2+mb2
1+m
．

难度：较难

解析收藏试题篮
8．设a₁，a₂，…，a_n为正数，证明
a1+a2+…+an
n
≥
n
1
a1
+
1
a2
+…+
1
an
．

难度：较难

解析收藏试题篮
9．求证：x＞1时，2x³＞x²+1．

难度：较难

解析收藏试题篮

0/40

进入组卷