知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知函数f（x）=
3
sinxcosx+sin²x-
1
2
．
（1）求f（x）的最小正周期及其对称轴方程；
（2）设函数g（x）=f（
ωx+φ
2
+
π
12
），其中常数ω＞0，|φ|＜
π
2
．
（i）当ω=4，φ=
π
6
时，函数y=g（x）-4λf（x）在[
π
12
，
π
3
]上的最大值为
3
2
，求λ的值；
（ii）若函数g（x）的一个单调减区间内有一个零点-
2π
3
，且其图象过点A（
7π
3
，1），记函数g（x）的最小正周期为T，试求T取最大值时函数g（x）的解析式．

难度：较难

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2．已知函数f(x)=sin
πx
2
(x∈R)．任取t∈R，若函数f（x）在区间[t，t+1]上的最大值为M（t），最小值为m（t），记g（t）=M（t）-m（t）．
（1）求函数f（x）的最小正周期及对称轴方程；
（2）当t∈[-2，0]时，求函数g（t）的解析式；
（3）设函数h（x）=2^|x-k|，H（x）=x|x-k|+2k-8，其中实数k为参数，且满足关于t的不等式
2
k-4g(t)≤0有解，若对任意x₁∈[4，+∞），存在x₂∈（-∞，4]，使得h（x₂）=H（x₁）成立，求实数k的取值范围．

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3．已知函数f（x）=sin（πx-
π
3
），若函数y=f（asinx+1），x∈R没有零点，则实数a的取值范围是．

难度：较难

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4．若函数f（x）是定义域为R，最小正周期为π的函数，且当x∈[0，π]时，当f（x）=sinx，则f(
15π
4
)= ．

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5．给出下列五个命题：
①函数y=2sin(2x-
π
3
)的一条对称轴是x=
5π
12
；
②函数y=tanx的图象关于点（
π
2
，0）对称；
③正弦函数在第一象限为增函数；
④若sin(2x1-
π
4
)=sin(2x2-
π
4
)，则x₁-x₂=kπ，其中k∈Z；
⑤函数f（x）=sinx+2|sinx|，x∈[0，2π]的图象与直线y=k有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围为（1，3）．
以上五个命题中正确的有（填写所有正确命题的序号）

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6．函数y=sinx的定义域是，值域是
函数y=tanx的定义域是，值域是．

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7．已知函数f（x）=cosxsin2x，下列结论中正确的为（将正确的序号都填上）
①f（x）既是奇函数，又是周期函数；
②y=f（x）的图象关于直线x=
π
2
对称；
③f（x）的最大值为
4
3
9
；
④y=f（x）在[-
π
6
，
π
6
]上是增函数．

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8．在下列五个命题中，
①函数y=tan（x+
π
4
）的定义域是 {x|x≠
π
4
+kπ，k∈Z}；
②已知sinα=
1
2
，且α∈[0，2π]，则α的取值集合是{
π
6
}；
③函数y=sin（2x+
π
3
）+sin（2x-
π
3
）的最小正周期是π；
④直线x=
π
4
是函数y=sinx+cosx图象的一条对称轴；
⑤函数y=cos²x+sinx的最小值为-1．
把你认为正确的命题的序号都填在横线上．

难度：较难

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