知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

2．
如图，港口\(A\)在港口\(O\)的正东\(120\)海里处，小岛\(B\)在港口\(O\)的北偏东\(60^{{∘}}\)的方向，且在港口\(A\)北偏西\(30^{{∘}}\)的方向上\({.}\)一艘科学考察船从港口\(O\)出发，沿北偏东\(30^{{∘}}\)的\(OD\)方向以\(20\)海里\({/}\)小时的速度驶离港口\(O{.}\)一艘给养快艇从港口\(A\)以\(60\)海里\({/}\)小时的速度驶向小岛\(B\)，在\(B\)岛转运补给物资后以相同的航速送往科考船\({.}\)已知两船同时出发，补给装船时间为\(1\)小时．

\((1)\)求给养快艇从港口\(A\)到小岛\(B\)的航行时间；
\((2)\)给养快艇驶离港口\(A\)后，最少经过多少时间能和科考船相遇？

难度：较难

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3．
已知\(a,b,c\)分别是\(\Delta ABC\)内角\(A,B,C\)的对边，且满足\({{(b-c)}^{2}}={{a}^{2}}-bc\)．

\((1)\)求角\(A\)的大小；

\((2)\)若\(a=3,\sin C=2\sin B\)，求\(\Delta ABC\)的面积．

难度：较难

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4．
据俄罗斯新罗西斯克\(2015\)年\(5\)月\(17\)日电记者吴敏、郑文达报道：当地时间\(17\)日，参加中俄“海上联合\(-2015(\)Ⅰ\()\)”军事演习的\(9\)艘舰艇抵达地中海预定海域，混编组成海上联合集群\(.\)接到命令后我军在港口\(M\)要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的俄军轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口\(M\)北偏西\(30^{\circ}\)且与该港口相距\(20\)海里的\(A\)处，并正以\(30\)海里\(/\)小时的航行速度沿正东方向匀速行驶\(.\)假设该小艇沿直线方向以\(v\)海里\(/\)小时的航行速度匀速行驶，经过\(t\)小时与轮船相遇．
\((1)\)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？
\((2)\)为保证小艇在\(30\)分钟内\((\)含\(30\)分钟\()\)能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值并说明你的推理过程；
\((3)\)是否存在\(v\)，使得小艇以\(v\)海里\(/\)小时的航行速度行驶，总能有两种不同的航行方向与轮船相遇？若存在，试确定\(v\)的取值范围；若不存在，请说明理由．

难度：较难

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5．
一艘客轮在航海中遇险，发出求救信号\(.\)在遇险地点\(A\)南偏西\(45^{\circ}\)方向\(10\)海里的\(B\)处有一艘海难搜救艇收到求救信号后立即侦查，发现遇险客轮的航行方向为南偏东\(75^{\circ}\)，正以每小时\(9\)海里的速度向一小岛靠近\(.\)已知海难搜救艇的最大速度为每小时\(21\)海里．

\((1)\)为了在最短的时间内追上客轮，求海难搜救艇追上客轮所需的时间；
\((2)\)若最短时间内两船在\(C\)处相遇，如图，在\(\triangle ABC\)中，求角\(B\)的正弦值．

难度：较难

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6．
如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到\(A\)处时测得公路北侧一山顶\(D\)在西偏北\(30^{\circ}\)的方向上，行驶\(600m\)后到达\(B\)处，测得此山顶在西偏北\(75^{\circ}\)的方向上，仰角为\(30^{\circ}\)，则此山的高度\(CD=\) ______ \(m.\)

难度：较难

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7．

如图，某海上缉私小分队驾驶缉私艇以\(40km/h\)的速度由\(A\)出出发，沿北偏东\(60^{\circ}\)方向进行海面巡逻，当航行半小时到达\(B\)处时，发现北偏西\(45^{\circ}\)方向有一艘船\(C\)，若船\(C\)位于\(A\)的北偏东\(30^{\circ}\)方向上，则缉私艇所在的\(B\)处与船\(C\)的距离是\((\)　　\()km\)．

A．\(5( \sqrt {6}+ \sqrt {2})\)

B．\(5( \sqrt {6}- \sqrt {2})\)

C．\(10( \sqrt {6}+ \sqrt {2})\)

D．\(10( \sqrt {6}- \sqrt {2})\)

难度：较难

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8．
\(ΔABC\)的内角\(A\)，\(B\)，\(C\)的对边分别为\(a\)，\(b\)，\(c\)，其中\(b\neq c\)，且\(b\cos B=c\cos C\)，延长线段\(BC\)到点\(D\)，使得\(BC=4CD=4\)，\(∠CAD=30^{\circ}\)。

\((1)\)求证：\(∠BAC\)是直角；
\((2)\)求\(\tan ∠D\)的值。

难度：较难

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9．
在\(\triangle ABC\)中，\(B= \dfrac{π}{3} \)，点\(D\)在边\(AB\)上，\(BD=1\)，且\(DA=DC\)．

\((\)Ⅰ\()\)若\(\triangle BCD\)的面积为\( \sqrt{3} \)，求\(CD\)；

\((\)Ⅱ\()\)若\(AC= \sqrt{3} \)，求\(\triangle DCA\)．

难度：较难

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10．
在锐角\(∆ABC \)中，角\(A,B,C \)的对边分别为\(a,b,c \)，且\( \sqrt{3}b=2c\sin B \)．

\((1)\)求角\(C \)的大小；

\((2)\)若\({c}^{2}=(a-b{)}^{2}+6 \)，求\(∆ABC \)的面积．

难度：较难

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