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在\(\Delta ABC\)中，角\(A,B,C\)的对边分别为\(a,b,c,\) 已知\(c=\dfrac{\sqrt{5}}{2}b\)．
\((1)\)若\(C=2B\)，求\(\cos B\)的值；
\((2)\)若\(\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{CB}\)，求\(\cos (B+\dfrac{\pi }{4})\)的值．
某飞机失联，经卫星侦查，其最后出现在小岛\(O\)附近\(.\)现派出四艘搜救船\(A\)，\(B\)，\(C\)，\(D\)，为方便联络，船\(A\)，\(B\)始终在以小岛\(O\)为圆心、\(100 n mile\)为半径的圆周上，船\(A\)，\(B\)，\(C\)，\(D\)构成正方形编队展开搜索，小岛\(O\)在正方形编队外\((\)如图\().\)设小岛\(O\)到\(AB\)的距离为\(x\)，\(∠OAB=α\)，\(D\)船到小岛\(O\)的距离为\(d\)．
\((1)\) 请分别求\(d\)关于\(x\)，\(α\)的函数关系式\(d=g(x)\)，\(d=f(α)\)，并分别写出定义域\(;\)
\((2)\) 当\(A\)，\(B\)两艘船之间的距离是多少时\(?\)搜救范围最大\((\)即\(d\)最大\()\)．
若\(\sin ( \dfrac{π}{3}-α)= \dfrac{1}{4}\)，则\(\cos ( \dfrac{π}{3}+2α)=\)________．
\(10.\)设\(a\)\(=\sin 17^{\circ}\cos 45^{\circ}+\cos 17^{\circ}\sin 45^{\circ}\)，\(b\)\(=2\cos ^{2}13^{\circ}-1\)，\(c\)\(= \dfrac{ \sqrt{3}}{2}\)，\((\) \()\)
\((\)Ⅰ\()\;①\) 证明两角和的余弦公式\({C}_{α+β}:\cos (α+β)=\cos α\cos β-\sin α\sin β \)；
\(\;②\) 证明：\(\sin 3\alpha =3{{\sin }^{2}}\alpha -4{{\sin }^{3}}\alpha \)．
\((\)Ⅱ\()\) 已知\(\triangle ABC\)的面积\(S= \dfrac{1}{2}, \overrightarrow{AB}· \overrightarrow{AC}=3 \)， 且\(\cos B= \dfrac{3}{5} \)， 求\(\cos C\)．
已知函数\(f(x)={{\sin }^{2}}x+3{{\cos }^{2}}x+2\sin x\cos x\)
\((1)\)求\(f(x)\)的单调增区间；
\((2)\)当\(x\in \left[ 0,\dfrac{\pi }{2} \right]\)时，求\(f(x)\)的最大和最小值；
\((3)\)若方程\(f(x)-m=2\)在\(x\in [0,\dfrac{\pi }{2}]\)有两个解，求实数\(m\)的取值范围．
在\(\triangle ABC\)中，角\(A\)，\(B\)，\(C\)对边分别是\(a\)，\(b\)，\(c\)，满足\(2 \overrightarrow{AB}· \overrightarrow{AC}={a}^{2}-{\left(b+c\right)}^{2} \)．
\((1)\)求角\(A\)的大小；
\((2)\)求\(\sin A⋅\sin B⋅\sin C\)的最大值，并求取得最大值时角\(B\)，\(C\)的大小．
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