知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．

已知$2$件次品和$3$件正品放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出$2$件次品或者检测出$3$件正品时检测结束．

$(1)$ 求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率$;$

$(2)$ 已知每检测一件产品需要费用$100$元，设$X$表示直到检测出$2$件次品或者检测出$3$件正品时所需要的检测费用$($单位：元$)$，求$X$的概率分布．

难度：较难

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2．在医学生物学试验中，经常以果蝇作为试验对象，一个关有$6$只果蝇的笼子里，不慎混入了两只苍蝇$($此时笼内共有$8$只蝇子：$6$只果蝇和$2$只苍蝇$)$，只好把笼子打开一个小孔，让蝇子一只一只地往外飞，直到两只苍蝇都飞出，再关闭小孔$.$以$ξ$表示笼内还剩下的果蝇的只数．
$($Ⅰ$)$写出$ξ$的分布列$($只需写出$ξ=2$的计算过程$)$；
$($Ⅱ$)$求数学期望$E(ξ)$；
$($Ⅲ$)$求概率$P(ξ\geqslant Eξ)$．

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3．
为贯彻“激情工作，快乐数学”的理念，某学校在学习之余举行趣味知识有奖竞赛，比赛分初赛和决赛两部分，为了增加节目的趣味性，初赛采用选手选一题答一题的方式进行，每位选手最多有$5$次选答题的机会，选手累计答错$3$题终止其初赛的比赛，答对$3$题者直接进入决赛，答错$3$题者则被淘汰，已知选手甲答题的正确率为$\dfrac{2}{3}$．
$(1)$求选手甲答题次数不超过$4$次可进入决赛的概率；
$(2)$设选手甲初赛中答题的个数$\xi$，试写出$\xi$的分布列，并求$\xi$的数学期望．

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4．某商区停车场临时停车按时段收费，收费标准为：每辆汽车一次停车不超过1小时收费6元，超过1小时的部分每小时收费8元（不足1小时的部分按1小时计算）．现有甲、乙二人在该商区临时停车，两人停车都不超过4小时．
（Ⅰ）若甲停车1小时以上且不超过2小时的概率为 $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B3%7D$ ，停车付费多于14元的概率为 $%20%5Cfrac%20%7B5%7D%7B12%7D$ ，求甲停车付费恰为6元的概率；
（Ⅱ）若每人停车的时长在每个时段的可能性相同，求甲、乙二人停车付费之和为36元的概率．

难度：较难

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5．
已知从“神十”飞船带回的某种植物种子每粒成功发芽的概率都为$ \dfrac {1}{3}$，某植物研究所进行该种子的发芽实验，每次实验种一粒种子，每次实验结果相互独立，假定某次实验种子发芽则称该次实验是成功的，如果种子没有发芽，则称该次实验是失败的$.$若该研究所共进行四次实验，设$ξ$表示四次实验结束时实验成功的次数与失败的次数之差的绝对值．
$($Ⅰ$)$求随机变量$ξ$的分布列及$ξ$的数学期望$E(ξ)$；
$($Ⅱ$)$记“不等式$ξx^{2}-ξx+1 > 0$的解集是实数集$R$”为事件$A$，求事件$A$发生的概率$P(A)$．

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6．
甲、乙两人参加某种选拔测试$.$在备选的$10$道题中，甲答对其中每道题的概率都是$ \dfrac {3}{5}$，乙能答对其中的$5$道题$.$规定每次考试都从备选的$10$道题中随机抽出$3$道题进行测试，答对一题加$10$分，答错一题$($不答视为答错$)$减$5$分，至少得$15$分才能入选．
$($Ⅰ$)$求乙得分的分布列和数学期望；
$($Ⅱ$)$求甲、乙两人中至少有一人入选的概率．

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7．
某商区停车场临时停车按时段收费，收费标准为：每辆汽车一次停车不超过$1$小时收费$6$元，超过$1$小时的部分每小时收费$8$元$($不足$1$小时的部分按$1$小时计算$).$现有甲、乙二人在该商区临时停车，两人停车都不超过$4$小时．
$($Ⅰ$)$若甲停车$1$小时以上且不超过$2$小时的概率为$ \dfrac {1}{3}$，停车付费多于$14$元的概率为$ \dfrac {5}{12}$，求甲停车付费恰为$6$元的概率；
$($Ⅱ$)$若每人停车的时长在每个时段的可能性相同，求甲、乙二人停车付费之和为$36$元的概率．

难度：较难

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8．

某商区停车场临时停车按时段收费，收费标准为：每辆汽车一次停车不超过$1$小时收费$6$元，超过$1$小时的部分每小时收费$8$元$($不足$1$小时的部分按$1$小时计算$).$现有甲、乙二人在该商区临时停车，两人停车都不超过$4$小时．

$($Ⅰ$)$若甲停车$1$小时以上且不超过$2$小时的概率为$\dfrac{3}{4}$，停车付费多于$14$元的概率为$ \dfrac{5}{12} $，求甲停车付费恰为$6$元的概率；

$($Ⅱ$)$若每人停车的时长在每个时段的可能性相同，求甲、乙二人停车付费之和为$36$元的概率．

难度：较难

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9．
高三年级有$3$名男生和$1$名女生为了报某所大学，事先进行了多方详细咨询，并根据自己的高考成绩情况，最终估计这$3$名男生报此所大学的概率都是$ \dfrac{1}{2} $，这$1$名女生报此所大学的概率是$ \dfrac{1}{3} .$且这$4$人报此所大学互不影响。

$($Ⅰ$)$求上述$4$名学生中报这所大学的人数中男生和女生人数相等的概率；

$($Ⅱ$)$在报考某所大学的上述$4$名学生中，记$ξ $为报这所大学的男生和女生人数的和，试求$ξ $的分布列和数学期望．

难度：较难

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10．甲、乙两人参加某种选拔测试．在备选的10道题中，甲答对其中每道题的概率都是 $%20%5Cfrac%20%7B3%7D%7B5%7D$ ，乙能答对其中的5道题．规定每次考试都从备选的10道题中随机抽出3道题进行测试，答对一题加10分，答错一题（不答视为答错）减5分，至少得15分才能入选．
（Ⅰ）求乙得分的分布列和数学期望；
（Ⅱ）求甲、乙两人中至少有一人入选的概率．

难度：较难

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