知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落，小球在下落的过程中将遇到黑色障碍物，最后落入\(A\)袋或\(B\)袋中\(.\)已知小球遇到第二、三、四层障碍物时，向左、右两边下落的概率都是\( \dfrac{1}{2}\)．

\((1)\)求小球落入\(A\)袋中的概率及落入\(B\)袋中的概率；

\((2)\)在容器的入口处依次放入\(4\)个小球，记\(X\)为落入\(B\)袋中的小球个数，求\(X\)的分布列．

难度：较难

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2．从甲、乙、丙三位候选人中以抽签方式确定惟一的参加全国演讲的名额\(.\)将两个黑球和一个红球放入袋中，甲、乙、丙依次摸球，摸到红球者将得到参加全国演讲的名额．问：
\((1)\)在甲摸到黑球的条件下，乙摸到红球的概率是多少？
\((2)\)如果让甲先摸，结果甲摸到了红球，试问这对乙候选人、丙候选人公平吗？

难度：较难

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3．

某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了\(1\)至\(6\)月份每月\(10\)号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料\(;\)该兴趣小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取\(2\)组，用剩下的\(4\)组数据求线性回归方程，再用被选取的\(2\)组数据进行检验．

日期	\(1\)月\(10\)日	\(2\)月\(10\)日	\(3\)月\(10\)日	\(4\)月\(10\)日	\(5\)月\(10\)日	\(6\)月\(10\)日
昼夜温差\(x(^{\circ}C)\)	\(10\)	\(11\)	\(13\)	\(12\)	\(8\)	\(6\)
就诊人数\(y(\)个\()\)	\(22\)	\(25\)	\(29\)	\(26\)	\(16\)	\(12\)

\((\)Ⅰ\()\) 求选取的\(2\)组数据恰好是相邻两个月的概率；

\((\)Ⅱ\()\)若选取的是\(1\)月与\(6\)月的两组数据，请根据\(2\)至\(5\)月份的数据，求出\(y\)关于\(x\)的线性回归方程\( \overset{∧}{y}=bx+a \)；

\((\)Ⅲ\()\)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过\(2\)人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该小组所得线性回归方程是否理想\(?\)

难度：较难

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4．一个均匀的正四面体的四个面上分别写有\(1\)，\(2\)，\(3\)，\(4\)四个数字，现随机抛掷两次，正四面体面朝下的数字分别为\(b\)，\(c\)．
\((1)z=(b-3)\)\({\,\!}^{2}\)\(+(c-3)\)\({\,\!}^{2}\)，求\(z=4\)的概率；

\((2)\)若方程\(x\)\({\,\!}^{2}\)\(-bx-c=0\)至少有一根\(x∈\{1,2,3,4\}\)，就称该方程为“漂亮方程”，求方程为“漂亮方程”的概率．

难度：较难

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5．一只口袋装有形状大小都相同的6只小球，其中有2只白球，2只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，试求：
（1）2只球都是红球的概率
（2）2只球同色的概率
（3）恰有一只白球的概率．

难度：较难

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6．
已知关于\(x\)的一元二次函数\(f(x)=ax^{2}-4bx+1\)．
\((1)\)设集合\(P=\{1,2,3\}\)和\(Q=\{-1,1,2,3,4\}\)，分别从集合\(P\)和\(Q\)中随机取一个数作为\(a\)和\(b\)，求函数\(y=f(x)\)在区间\([1,+∞)\)上是增函数的概率；
\((2)\)设点\((a,b)\)是区域\( \begin{cases} x+y-8\leqslant 0 \\ x > 0 \\ y > 0\end{cases}\)内的随机点，求\(y=f(x)\)在区间\([1,+∞)\)上是增函数的概率．

难度：较难

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7．
设关于\(x\)的一元二次方程\(x^{2}+2ax+b^{2}=0\)．
\((1)\)若\(a\)是从\(0\)，\(1\)，\(2\)，\(3\)四个数中任取的一个数，\(b\)是从\(0\)，\(1\)，\(2\)三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．
\((2)\)若\(a\)是从区间\([0,3]\)任取的一个数，\(b\)是从区间\([0,2]\)任取的一个数，求上述方程有实根的概率．

难度：较难

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8．
某车间将\(10\)名技工平均分为甲，乙两组加工某种零件，在单位时间内每个技工加工零件若干，其中合格零件的个数如表：

每组员工编号

\(1\)

\(2\)

\(3\)

\(4\)

\(5\)

甲组

\(4\)

\(5\)

\(7\)

\(9\)

\(10\)

乙组

\(5\)

\(6\)

\(7\)

\(8\)

\(9\)

\((\)Ⅰ\()\)分别求出甲，乙两组技工在单位时间内完成合格零件的平均数及方差，并由此分析两组技工的技术水平；

\((\)Ⅱ\()\)质检部门从该车间甲，乙两组中各随机抽取\(1\)名技工，对其加工的零件进行检测，若两人完成合格零件个数之和超过\(12\)件，则称该车间“质量合格”，求该车间“质量合格”的概率．

难度：较难

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9．
已知关于\(x\)的一元二次函数\(f(x)=ax^{2}-4bx+1\)．
\((1)\)设集合\(P=\{1,2,3\}\)和\(Q=\{-1,1,2,3,4\}\)，分别从集合\(P\)和\(Q\)中随机取一个数作为\(a\)和\(b\)，求函数\(y=f(x)\)在区间\([1,+∞)\)上是增函数的概率；
\((2)\)设点\((a,b)\)是区域\( \begin{cases} x+y-8\leqslant 0 \\ x > 0 \\ y > 0\end{cases}\)内的随机点，求\(y=f(x)\)在区间\([1,+∞)\)上是增函数的概率．

难度：较难

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10．

设关于\(x\)的一元二次方程\(x^{2}+2ax+b^{2}=0\)．

\((1)\)若\(a\)是从\(0\)，\(1\)，\(2\)，\(3\)四个数中任取的一个数，\(b\)是从\(0\)，\(1\)，\(2\)三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．

\((2)\)若\(a\)是从区间\([0,3]\)中任取的一个数，\(b\)是从区间\([0,2]\)中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．

难度：较难

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每组员工编号	\(1\)	\(2\)	\(3\)	\(4\)	\(5\)
甲组	\(4\)	\(5\)	\(7\)	\(9\)	\(10\)
乙组	\(5\)	\(6\)	\(7\)	\(8\)	\(9\)