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“开门大吉”是某电视台推出的游戏益智节目\(.\)选手面对\(1-4\)号\(4\)扇大门，依次按响门上的门铃，门铃会播放一段音乐\((\)将一首经典流行歌曲以单音色旋律的方式演绎\()\)，选手需正确回答出这首歌的名字，方可获得该扇门对应的家庭梦想基金\(.\)正确回答每一扇门后，选手可自由选择带着奖金离开比赛，还可继续挑战后面的门以获得更多奖金\((\)奖金金额累加\().\)但是一旦回答错误，奖金将清零，选手也会离开比赛\(.\)在一次场外调查中，发现参加比赛的选手多数分为两个年龄段：\(20～30\)；\(30～40(\)单位：岁\()\)，其中猜对歌曲名称与否的人数如图所示．
每扇门对应的梦想基金：\((\)单位：元\()\)
第一扇门 | 第二扇门 | 第三扇门 | 第四扇门 |
\(1 000\) | \(2 000\) | \(3 000\) | \(5 000\) |
\((1)\)写出\(2×2\)列联表；判断是否有\(90\%\)的把握认为猜对歌曲名称与否与年龄有关？说明你的理由\(.(\)下面的临界值表供参考\()\)
\(P(K^{2}\geqslant k_{0})\) | \(0.10\) | \(0.05\) | \(0.025\) | \(0.010\) | \(0.005\) | \(0.001\) |
\(k_{0}\) | \(2.706\) | \(3.841\) | \(5.024\) | \(6.635\) | \(7.879\) | \(10.828\) |
\((2)\)若某选手能正确回答第一、二、三、四扇门的概率分别为\( \dfrac{4}{5}\)，\( \dfrac{3}{4}\)，\( \dfrac{2}{3}\)，\( \dfrac{1}{3}\)，正确回答一个问题后，选择继续回答下一个问题的概率是\( \dfrac{1}{2}\)，且各个问题回答正确与否互不影响\(.\)设该选手所获梦想基金总数为\(ξ\)，求\(ξ\)的分布列及均值\(.\)参考公式其中\(K^{2}=\dfrac{n{{\left( ad-bc \right)}^{2}}}{\left( a+b \right)\left( c+d \right)\left( a+c \right)\left( b+d \right)}\)，其中\(n=a+b+c+d\)