知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
设有关于$x$的一元二次方程$x^{2}+ax+b^{2}=0$．
$(1)$若$a$是从$0$，$1$，$2$，$3$四个数中任取的一个数，$b$是从$0$，$1$，$2$三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；
$(2)$若$a$是从区间$[0,3]$任取的一个数，$b$是从区间$[0,2]$任取的一个数，求上述方程有实根的概率．

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2．

某研究性学习小组对春季昼夜温差大小与某花卉种子发芽多少之间的关系进行研究，他们分别记录了$3$月$1$日至$3$月$5$日的每天昼夜温差与实验室每天每$100$颗种子浸泡后的发芽数，得到如下资料：

日期	$3$月$1$日	$3$月$2$日	$3$月$3$ 日	$3$月$4$日	$3$月$5$日
温差$x(℃)$	$10$	$11$	$13$	$12$	$8$
发芽数$y($颗$)$	$23$	$25$	$30$	$26$	$16$

$(1)$从$3$月$1$日至$3$月$5$日中任选$2$天，记发芽的种子数分别为$m$，$n$，求事件“$m$，$n$均小于$25$”的概率；
$(2)$请根据$3$月$2$日至$3$月$4$日的数据，求出$y$关于$x$的线性回归方程$ \hat y= \hat bx+ \hat a$．
$($参考公式：回归直线方程为$ \hat y= \hat bx+ \hat a$，其中$ \hat b= \dfrac { \sum\limits_{i-1}^{n}x_{i}y_{i}-n \overset{}{x} \overset{}{y}}{ \sum\limits_{i-1}^{n}x_{i}^{2}-n( \overset{}{x})^{2}}$，$ \hat a= \hat y- \hat bx)$

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3．某医院一天内派医生下乡医疗，派出医生数及概率如下：
医生人数 0 1 2 3 4 5人以上
概率 0.1 0.16 0.2 x 0.2 0.04
求（1）派出医生为3人的概率；
（2）派出医生至多2人的概率．
（3）派出医生至少2 人的概率．

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4．某同学参加学校自主招生3门课程的考试，假设该同学第一门课程取得优秀成绩概率为 $%20%5Cfrac%20%7B2%7D%7B5%7D$ ，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为p，q（p＜q），且不同课程是否取得优秀成绩相互独立，记ξ为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为
ξ 0 1 2 3
p $%20%5Cfrac%20%7B6%7D%7B125%7D$ x y $%20%5Cfrac%20%7B24%7D%7B125%7D$
（Ⅰ）求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率及求p，q的值；
（Ⅱ）求该生取得优秀成绩课程门数的数学期望Eξ．

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5．某商店计划每天购进某商品若干件，商店每销售1件该商品可获利50元．若供大于求，剩余商品全部退回，但每件商品亏损10元；若供不应求，则从外部调剂，此时每件调剂商品可获利30元．
（Ⅰ）若商店一天购进该商品10件，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：件，n∈N）的函数解析式；
（Ⅱ）商店记录了50天该商品的日需求量（单位：件），整理得如表：
日需求量n 8 9 10 11 12
频数 9 11 15 10 5
①假设该店在这50天内每天购进10件该商品，求这50天的日利润（单位：元）的平均数；
②若该店一天购进10件该商品，以50天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润在区间[400，550]内的概率．

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6．某保险的基本保费为a（单位：元），继续购买该保险的投保人成为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：
上年度出险次数 0 1 2 3 4 ≥5
保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a
设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：
一年内出险次数 0 1 2 3 4 ≥5
概率 0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0.05
（Ⅰ）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；
（Ⅱ）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；
（Ⅲ）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．

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7．
已知袋子中放有大小和形状相同的小球若干，其中标号为$0$的小球$1$个，标号为$1$的小球$1$个，标号为$2$的小球$n$个$.$若从袋子中随机抽取$1$个小球，取到标号为$2$的小球的概率是$ \dfrac {1}{2}$．
$(1)$求$n$的值；
$(2)$从袋子中不放回地随机抽取$2$个小球，记第一次取出的小球标号为$a$，第二次取出的小球标号为$b$．
$(i)$记“$a+b=2$”为事件$A$，求事件$A$的概率；
$(ii)$在区间$[0,2]$内任取$2$个实数$x$，$y$，求事件“$x^{2}+y^{2} > (a-b)^{2}$恒成立”的概率．

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8．某大学自主招生考试面试环节中，共设置两类考题，A类题有4个不同的小题，B类题有6个不同的小题，某考生从中任抽取四道题解答．
（Ⅰ）求该考生至少抽取到2道B类题的概率；
（Ⅱ）设所抽取的四道题中B类题的个数为X，求随机变量X的分布列与期望．

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9．某市质监部门对市场上奶粉进行质量抽检，现将9个进口品牌奶粉的样品编号为1，2，3，4，…，9；6个国产品牌奶粉的样品编号为10，11，12，…，15，按进口品牌及国产品牌分层进行分层抽样，从其中抽取5个样品进行首轮检验，用P（i，j）表示编号为i，j（1≤i＜j≤15）的样品首轮同时被抽到的概率．
（Ⅰ）求P（1，15）的值；
（Ⅱ）求所有的P（i，j）（1≤i＜j≤15）的和．

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10．

某校为了解高一学生英语学习的情况，现从期末英语考试成绩中随机抽取100名学生，按成绩分组，得到的频率分布表如图：

组别	分组	组数	频率
1	[90，100﹚	3	0.03
2	[100，110﹚	30	0.3
3	[110，120﹚	10	①
4	[120，130﹚	②	0.34
5	[130，140﹚	21	0.21
6	[140，150﹚	2	1
合计		100	1

（1）请求出频率分布表中①、②位置相应的数据，并补全频率分布直方图；
（2）若在第3、5组的学生中，用分层抽样抽取6名学生参加心理测试，请问：在第3、5组各抽取多少名学生参加测试；
（3）为了进一步获得研究资料，学校决定再从第1组和第6组的学生中，随机抽取3名学生进行心理测试，列出所有基本事件，并求㈠第1组中的甲同学和第6组中的A同学都没有被抽到的概率；㈡第1组中至少有两个同学入选的概率．

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日期	\(3\)月\(1\)日	\(3\)月\(2\)日	\(3\)月\(3\) 日	\(3\)月\(4\)日	\(3\)月\(5\)日
温差\(x(℃)\)	\(10\)	\(11\)	\(13\)	\(12\)	\(8\)
发芽数\(y(\)颗\()\)	\(23\)	\(25\)	\(30\)	\(26\)	\(16\)

ξ	0	1	2	3
p	$%20%5Cfrac%20%7B6%7D%7B125%7D$	x	y	$%20%5Cfrac%20%7B24%7D%7B125%7D$

一年内出险次数	0	1	2	3	4	≥5
概率	0.30	0.15	0.20	0.20	0.10	0.05

医生人数	0	1	2	3	4	5人以上
概率	0.1	0.16	0.2	x	0.2	0.04

日需求量n	8	9	10	11	12
频数	9	11	15	10	5

上年度出险次数	0	1	2	3	4	≥5
保费	0.85a	a	1.25a	1.5a	1.75a	2a