知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1． 2017年1月1日，作为贵阳市打造“千园之城”27个示范性公元之一的泉湖公园正式开园，元旦期间，为了活跃气氛，主办方设置了水上挑战项目向全体市民开放，现从到公园游览的市民中随机抽取了60名男生和40名女生共100人进行调查，统计出100名市民中愿意接受挑战和不愿意接受挑战的男女生比例情况，具体数据如图表：
（1）根据条件完成下列2×2列联表，并判断是否在犯错误的概率不超过1%的情况下愿意接受挑战与性别有关？
愿意不愿意总计
男生
女生
总计
（2）现用分层抽样的方法从愿意接受挑战的市民中选取7名挑战者，再从中抽取2人参加挑战，求抽取的2人中至少有一名男生的概率．
参考公式与数据：
P（K²≥k₀） 0.1 0.05 0.025 0.01
k₀ 2.706 3.841 5.024 6.635
K²= $%20%5Cfrac%20%7Bn%28ad-bc%29%5E%7B2%7D%7D%7B%28a%2Bb%29%28c%2Bd%29%28a%2Bc%29%28b%2Bd%29%7D$ ．

难度：较难

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2．某校卫生所成立了调查小组，调查“按时刷牙与不患龋齿的关系”，对该校某年级800名学生进行检查，按患龋齿和不患龋齿分类，得汇总数据：按时刷牙且不患龋齿的学生有160 名，不按时刷牙但不患龋齿的学生有100 名，按时刷牙但患龋齿的学生有 240 名．
（1）该校4名校卫生所工作人员甲、乙、丙、丁被随机分成两组，每组 2 人，一组负责数据收集，另一组负责数据处理，求工作人员甲乙分到同一组的概率．
（2）是否有99.9%的把握认为该年级学生的按时刷牙与不患龋齿有关系？
附：k²= $%20%5Cfrac%20%7Bn%28ad-bc%29%5E%7B2%7D%7D%7B%28a%2Bb%29%28c%2Bd%29%28a%2Bc%29%28b%2Bd%29%7D$
P（K²≥k₀） 0.010 0.005 0.001
k₀ 6.635 7.879 10.828

难度：较难

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3．

国家实施二孩放开政策后，为了了解人们对此政策持支持态度是否与年龄有关，计生部门将已婚且育有一孩的居民分成中老年组（45岁以上，含45岁）和中青年组（45岁以下，不含45岁）两个组别，每组各随机调查了50人，对各组中持支持态度和不支持态度的人所占的频率绘制成等高条形图，如图所示：

	支持	不支持	合计
中老年组	______	______	50
中青年组	______	______	50
合计	______	______	100

（1）根据以上信息完成2×2列联表；
（2）是否有99%以上的把握认为人们对此政策持支持态度与年龄有关？

P（K²≥k₀）	0.050	0.010	0.001
k₀	3.841	6.635	10.828

附： $K%5E%7B2%7D%3D%20%5Cfrac%20%7Bn%28ad-bc%29%5E%7B2%7D%7D%7B%28a%2Bb%29%28c%2Bd%29%28a%2Bc%29%28b%2Bd%29%7D$ ．

难度：较难

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4．北京时间4月14日，是湖人当家球星科比•布莱恩特的退役日，当天有大量网友关注此事．某网上论坛有重庆网友200人，四川网友300人．为了解不同地区对“科比退役”事件的关注程度，现采用分层抽样的方法，从中抽取100名网友，先分别统计他们在论坛的留言条数，再将留言条数分成5组：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．

（1）从样本中留言不足50条的网友中随机抽取2人，求恰好抽到2名重庆市网友的概率；
（2）规定留言不少于60条为“强烈关注”，否则为“一般关注”．

网友	强烈关注	一般关注	合计
重庆市	a= ______	b= ______	______
四川省	c= ______	d= ______	______
合计	______	______	______

完成上表，并判断是否有90%以上的把握认为关注程度与网友所在地区有关？
附：临界值表及参考公式：K²= $%20%5Cfrac%20%7Bn%28ad-bc%29%5E%7B2%7D%7D%7B%28a%2Bb%29%28c%2Bd%29%28a%2Bc%29%28b%2Bd%29%7D$ ，n=a+b+c+d．

P（K²≥x₀）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
x₀	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

难度：较难

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5．某城市随机抽取一年内100 天的空气质量指数（AQI）的监测数据，结果统计如表：

API	[0，50]	（50，100]	（100，150]	（150，200]	（200，300]	＞300
空气质量	优	良	轻度污染	轻度污染	中度污染	重度污染
天数	6	14	18	27	20	15

（Ⅰ）若本次抽取的样本数据有30 天是在供暖季，其中有8 天为严重污染．根据提
供的统计数据，完成下面的2×2 列联表，并判断是否有95%的把握认为“该城市本年的
空气严重污染与供暖有关”？

	非重度污染	严重污染	合计
供暖季	______	______	______
非供暖季	______	______	______
合计	______	______	100

（Ⅱ）已知某企业每天的经济损失y（单位：元）与空气质量指数x 的关系式为y= $%20%5Cbegin%7Bcases%7D%20%200%EF%BC%8C0%E2%89%A4x%E2%89%A4100%20%5C%5C%20400%EF%BC%8C100%EF%BC%9Cx%E2%89%A4300%20%5C%5C%202000%EF%BC%8Cx%EF%BC%9E300%5Cend%7Bcases%7D$ 试估计该企业一个月（按30 天计算）的经济损失的数学期望．
参考公式：K²= $%20%5Cfrac%20%7Bn%28ad-bc%29%5E%7B2%7D%7D%7B%28a%2Bb%29%28c%2Bd%29%28a%2Bc%29%28b%2Bd%29%7D$

P（K²≥k）	0.100	0.050	0.025	0.010	0.001
k	2.706	3.841	5.024	6.635	10.828

难度：较难

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6．为了判断高中三年级学生是否选修文科与性别的关系，现随机抽取50名学生，得到如下2×2列联表：

	理科	文科
男	13	10
女	7	20

已知P（K²≥3.841）≈0.05，P（K²≥5.024）≈0.025．根据表中数据，得到K²= $%20%5Cfrac%20%7B50%C3%97%2813%C3%9720-10%C3%977%29%5E%7B2%7D%7D%7B23%5Ctimes%2027%5Ctimes%2020%5Ctimes%2030%7D$ ≈4.844．则认为选修文科与性别有关系出错的可能性为（　　）

A．2.5%

B．5%

C．10%

D．95%

难度：较难

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7．随着智能手机的发展，微信越来越成为人们交流的一种方式$.$某机构对使用微信交流的态度进行调查，随机调查了$50$人，他们年龄的频数分布及对使用微信交流赞成人数如下表：
$($Ⅰ$)$由以上统计数据填写下面的$2×2$列联表，并判断是否有$99％$的把握认为年龄$45$岁为分界点对使用微信交流的态度有差异；

$($Ⅱ$)$若对年龄在$[55,65)$，$[65,75)$的被调查人中各随机选取两人进行追踪调查，记选中的$4$人中赞成使用微信交流人数为$X$，求随机变量$X$的分布列及数学期望．

参考公式：，其中$n=a+b+c+d$

参考数据：

难度：较难

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8．第11届全国人大五次会议于2012年3月5日至3月14日在北京召开，为了搞好对外宣传工作，会务组选聘了16名男记者和14名记者担任对外翻译工作，调查发现，男、女记者中分别有10人和6人会俄语．
（I）根据以上数据完成以下2X2列联表：
会俄语不会俄语总计
男
女
总计           30
并回答能否在犯错的概率不超过0.10的前提下认为性别与会俄语有关？
参考公式：K²=
n(ad-bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
其中n=a+b+c+d
参考数据：
P（K²≥k₀） 0.40 0.25 0.10 0.010
k₀ 0.708 1.323 2.706 6.635
（II）若从14名女记者中随机抽取2人担任翻译工作，记会俄语的人数为ξ，求ξ的期望．

难度：较难

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	愿意	不愿意	总计
男生
女生
总计

	会俄语	不会俄语	总计
男
女
总计			30